Hệ thức lượng trong tam giác vuông là phần hình học lớp 9 giúp ta tính cạnh, đường cao và hình chiếu mà không cần vẽ thêm nhiều đường phụ.
Bài viết này tổng hợp năm hệ thức quan trọng, chứng minh gọn từng hệ thức và giải bốn bài tập có lời giải chi tiết. Đây cũng là nền tảng cần thiết cho các bài toán hình học trong đề thi olympiad toán.
Khái niệm cơ bản của hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ta xét tam giác ABC vuông tại A, với đường cao AH hạ từ A xuống cạnh huyền BC. Đặt BC = a, AC = b, AB = c và AH = h.
Hai đoạn BH và CH là hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền. Ta ký hiệu BH = c’ và CH = b’.
Cách đặt tên này quan trọng. Mọi công thức phía sau đều dùng nó: b’ đi với b, c’ đi với c. Hãy vẽ hình và ghi ký hiệu trước khi giải bất kỳ bài nào.
Vì H nằm giữa B và C nên a = b’ + c’. Hai tam giác nhỏ ABH và CAH đồng dạng với tam giác lớn ABC, và chính sự đồng dạng này sinh ra toàn bộ hệ thức lượng.
Các hệ thức lượng cần nhớ
Có năm hệ thức, và bạn sẽ dùng chúng liên tục trong các bài toán hình học.
- b² = a·b’ và c² = a·c’ (bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu).
- h² = b’·c’ (bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu).
- b·c = a·h (tích hai cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân đường cao).
- 1/h² = 1/b² + 1/c² (nghịch đảo bình phương đường cao).
- a² = b² + c² (định lý Pythagoras).
Hệ thức cuối quen thuộc nhất. Bạn có thể xem thêm định lý Pythagoras và ứng dụng trong bài tập. Trang Wikipedia về định lý Pythagoras cũng nêu nhiều cách chứng minh khác.
Cách chứng minh hệ thức lượng trong tam giác vuông
Chứng minh b² = a·b’ và c² = a·c’
Xét hai tam giác CAH và CBA. Chúng có chung góc C và cùng có một góc vuông, nên đồng dạng.
Từ đó CA/CB = CH/CA, tức b/a = b’/b. Nhân chéo ta được b² = a·b’. Làm tương tự với hai tam giác BAH và BCA sẽ ra c² = a·c’.
Chứng minh h² = b’·c’
Hai tam giác AHB và CHA đồng dạng. Suy ra AH/CH = BH/AH, tức h/b’ = c’/h. Vậy h² = b’·c’.
Chứng minh b·c = a·h
Ta tính diện tích tam giác ABC theo hai cách. Cách một dùng hai cạnh góc vuông: S = bc/2. Cách hai dùng đáy BC và đường cao AH: S = ah/2.
Hai giá trị bằng nhau nên bc = ah. Đây là chứng minh ngắn nhất trong bộ hệ thức.
Chứng minh 1/h² = 1/b² + 1/c²
Từ bc = ah ta có h = bc/a, nên 1/h² = a²/(b²c²). Thay a² = b² + c² được 1/c² + 1/b². Hệ thức được chứng minh chỉ bằng vài dòng đại số.
Bài tập có lời giải
Bài 1: biết hai cạnh góc vuông
Cho AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính BC, AH, BH và CH.
Theo Pythagoras, BC² = 9 + 16 = 25, nên BC = 5 cm. Từ bc = ah ta có AH = 3·4/5 = 2,4 cm. Từ c² = a·c’ ta có BH = 9/5 = 1,8 cm, và CH = 16/5 = 3,2 cm.
Kiểm tra: BH + CH = 5 bằng BC, và AH² = 5,76 = 1,8·3,2.
Bài 2: biết hai hình chiếu
Cho BH = 4 cm, CH = 9 cm. Ta có BC = 13 cm. Từ h² = b’·c’ = 36, suy ra AH = 6 cm.
Từ c² = a·c’ = 13·4 = 52 nên AB = 2√13 cm. Tương tự AC² = 13·9 = 117 nên AC = 3√13 cm. Thử lại: 52 + 117 = 169 = 13².
Bài 3: biết cạnh huyền và đường cao
Cho BC = 25 cm và AH = 12 cm. Tính hai cạnh góc vuông.
Ta có b’ + c’ = 25 và b’·c’ = 144. Hai số này là nghiệm của X² − 25X + 144 = 0, một phương trình bậc hai quen thuộc. Biệt thức Δ = 49, nên X = (25 ± 7)/2, cho 16 và 9.
Nếu BH = 9 thì AB² = 25·9 = 225, nên AB = 15 cm. Khi đó AC = 20 cm. Kiểm tra: AB·AC = 300 = 25·12.
Bài 4: dùng nghịch đảo bình phương
Cho AB = 5 cm và AC = 12 cm. Tính AH.
Ta có 1/h² = 1/25 + 1/144 = 169/3600. Suy ra h = 60/13 cm, trùng với kết quả từ h = bc/a khi BC = 13.
Bài 5: kết hợp tỉ số lượng giác
Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 10 cm và góc B bằng 30°. Ta có AC = 10·sin 30° = 5 cm và AB = 10·cos 30° = 5√3 cm.
Đường cao AH = AB·AC/BC = 5√3/2 cm. Các tỉ số này thuộc về hàm số lượng giác.
Mẹo ghi nhớ hệ thức lượng trong tam giác vuông
Với b² = a·b’ và c² = a·c’, hãy nhớ: cạnh góc vuông bình phương bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của chính nó.
Với h² = b’·c’, đường cao là trung bình nhân của hai hình chiếu. Với bc = ah, đó chỉ là hai cách tính diện tích.
Hãy luôn kiểm tra kết quả: cạnh huyền dài nhất, đường cao ngắn hơn cả hai cạnh góc vuông, và hai hình chiếu cộng lại bằng cạnh huyền. Ba phép thử này giúp bắt phần lớn lỗi tính toán.
Luyện đều các bài tập hình học sẽ giúp bạn phản xạ nhanh hơn khi gặp đề thi và đề olympiad.
