Định lý Pythagoras là công cụ tính độ dài cạnh quen thuộc nhất trong hình học phẳng. Từ lớp 7 đến lớp 12, bạn sẽ gặp định lý Pythagoras trong tam giác, hình chữ nhật, hình hộp và cả hệ tọa độ. Bài viết này đi qua phát biểu, một chứng minh bằng diện tích, các ứng dụng hay gặp và năm bài tập tăng dần độ khó. Mình giữ lời giải thật chi tiết để bạn theo kịp.
Phát biểu định lý Pythagoras
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Nếu hai cạnh góc vuông là a và b, cạnh huyền là c, ta có a² + b² = c². Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông, và nó luôn là cạnh dài nhất.
Định lý đảo cũng đúng. Nếu một tam giác có ba cạnh thỏa a² + b² = c², tam giác đó vuông tại đỉnh đối diện cạnh c. Nhờ vậy ta kiểm tra được một tam giác có vuông hay không chỉ bằng ba độ dài.
Có một số bộ ba số nguyên rất hay xuất hiện, gọi là bộ ba Pythagoras. Bạn nên thuộc vài bộ: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25. Chẳng hạn 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Biết sẵn chúng giúp bạn đoán đáp án nhanh và phát hiện kết quả sai ngay khi vừa tính xong.
Chứng minh định lý Pythagoras bằng diện tích
Có hàng trăm cách chứng minh định lý này. Mình chọn cách dùng diện tích vì nó dễ hình dung nhất. Hãy vẽ một hình vuông lớn có cạnh a + b. Bên trong, đặt bốn tam giác vuông bằng nhau, mỗi tam giác có hai cạnh góc vuông a, b và cạnh huyền c. Bốn cạnh huyền tạo thành một hình vuông nghiêng ở giữa, có cạnh c.
Diện tích hình vuông lớn tính theo hai cách. Cách một: (a + b)² = a² + 2ab + b². Cách hai: bốn tam giác có tổng diện tích 4·(ab/2) = 2ab, cộng với hình vuông giữa c². Cho hai kết quả bằng nhau ta có a² + 2ab + b² = 2ab + c². Rút gọn 2ab ở hai vế, còn lại a² + b² = c².
Nếu bạn thích đọc thêm các cách chứng minh khác, trang Wikipedia về định lý Pythagoras trình bày khá đầy đủ. Về sau, định lý này được mở rộng thành định lý cosin: c² = a² + b² − 2ab·cos C, dùng cho tam giác bất kỳ. Phần nền tảng ở đó nằm trong hàm số lượng giác. Khi góc C bằng 90° thì cos C bằng 0 và ta quay về đúng định lý Pythagoras.
Ứng dụng định lý Pythagoras tính độ dài cạnh
Trước khi tính, hãy xác định đâu là cạnh huyền. Nhiều bạn cứ thấy chữ c là bình phương rồi cộng, kể cả khi đề cho cạnh huyền và một cạnh góc vuông. Lúc đó ta phải trừ: a² = c² − b². Chỉ cần vẽ hình và đánh dấu góc vuông, bạn đã tránh được lỗi này.
Đường chéo hình chữ nhật và hình vuông
Hình chữ nhật có hai cạnh 6 cm và 8 cm thì đường chéo là √(36 + 64) = √100 = 10 cm. Hình vuông cạnh a có đường chéo √(a² + a²) = a√2. Với a = 5 cm, đường chéo là 5√2, xấp xỉ 7,07 cm.
Đường cao tam giác đều
Tam giác đều cạnh a có đường cao cũng là trung tuyến, chia đáy thành hai đoạn a/2. Ta có h² = a² − (a/2)² = 3a²/4, nên h = a√3/2. Với a = 4 cm, h = 2√3 cm, khoảng 3,46 cm.
Khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ
Cho A(1; 2) và B(7; 10). Hiệu hoành độ là 6, hiệu tung độ là 8. Khoảng cách AB = √(36 + 64) = 10. Công thức tổng quát chính là định lý Pythagoras áp dụng cho tam giác vuông tạo bởi hai hiệu tọa độ.
Đường chéo hình hộp
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4 và 12. Đường chéo mặt đáy là 5, vì 9 + 16 = 25. Đường chéo hộp là √(25 + 144) = √169 = 13. Ta áp dụng định lý Pythagoras hai lần liên tiếp.
Bài tập định lý Pythagoras từ cơ bản đến nâng cao
Bài 1: tính cạnh huyền
Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 9 cm và 12 cm. Ta có c² = 81 + 144 = 225, nên c = 15 cm. Đây là bộ 3, 4, 5 nhân với 3.
Sau khi tìm xong, hãy ước lượng lại xem kết quả có hợp lý không. Cạnh huyền 15 cm lớn hơn cả hai cạnh 9 cm và 12 cm. Đồng thời nó nhỏ hơn tổng hai cạnh là 21 cm. Điều kiện bất đẳng thức tam giác này luôn đúng, nên đây là phép thử miễn phí cho mọi đáp án.
Bài 2: kiểm tra tam giác vuông
Hai tam giác có ba cạnh lần lượt là 6, 8, 10 và 7, 9, 12. Với tam giác thứ nhất, 36 + 64 = 100 = 10², nên nó vuông. Với tam giác thứ hai, 49 + 81 = 130, mà 12² = 144, hai giá trị khác nhau nên nó không vuông. Chú ý luôn lấy cạnh dài nhất làm cạnh huyền để thử.
Bài 3: tam giác cân
Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13 cm và BC = 10 cm. Tính diện tích. Kẻ AH vuông góc BC thì H là trung điểm, nên BH = 5. Khi đó AH² = 169 − 25 = 144, nên AH = 12 cm. Diện tích là 10·12/2 = 60 cm². Ta cũng thấy tam giác ABH chính là bộ 5, 12, 13. Phần hình chiếu và đường cao này có thêm trong bài hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Bài 4: tìm hai cạnh khi biết chu vi
Tam giác vuông có cạnh huyền 13 cm và chu vi 30 cm. Tìm hai cạnh góc vuông. Ta có a + b = 17 và a² + b² = 169. Suy ra ab = (17² − 169)/2 = (289 − 169)/2 = 60. Vậy a và b là nghiệm của X² − 17X + 60 = 0, một phương trình bậc hai. Biệt thức Δ = 289 − 240 = 49, nên X = (17 ± 7)/2, tức 12 hoặc 5. Hai cạnh là 5 cm và 12 cm. Kiểm tra: 5 + 12 + 13 = 30.
Bài 5: chiếc thang trượt
Một chiếc thang dài 10 m dựa vào tường, chân thang cách tường 6 m. Đầu thang cao √(100 − 36) = 8 m. Nếu đầu thang tụt xuống 1 m, tức còn cao 7 m, chân thang cách tường √(100 − 49) = √51, xấp xỉ 7,14 m. Vậy chân thang trượt ra xa khoảng 1,14 m.
Kết quả này khiến nhiều bạn bất ngờ: đầu thang chỉ tụt 1 m nhưng chân thang trượt hơn 1 m. Khi giải bài hình, hãy tập thói quen tìm tam giác vuông ẩn trong hình. Đôi khi bạn phải kẻ thêm một đường cao, nối một đường chéo, hoặc hạ một đường vuông góc xuống trục. Một khi thấy tam giác vuông, định lý Pythagoras gần như luôn là bước tiếp theo. Chúc bạn luyện tập vui và đều tay.
