Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những nội dung quen thuộc nhất từ lớp 8, lớp 9, và vẫn theo học sinh đến tận kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong quá trình hướng dẫn học sinh luyện thi và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi, đây là chỗ nhiều bạn lúng túng nhất. Bài viết này đi qua ba cách giải phổ biến, kèm ví dụ có lời giải đầy đủ. Bạn cứ cầm bút làm song song nhé.
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?
Đó là một hệ gồm hai phương trình dạng ax + by = c và a’x + b’y = c’, trong đó x và y là hai ẩn số. Nghiệm của hệ là cặp số (x; y) thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. Một phương trình đơn lẻ có vô số cặp nghiệm, nên ta cần thêm phương trình thứ hai để thu hẹp lại.
Nhìn từ góc độ hình học sẽ dễ hình dung hơn. Mỗi phương trình biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ. Nghiệm của hệ chính là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng ấy. Từ đó có ba khả năng xảy ra.
- Hai đường cắt nhau: hệ có đúng một nghiệm.
- Hai đường song song: hệ vô nghiệm.
- Hai đường trùng nhau: hệ có vô số nghiệm.
Khi các hệ số đều khác 0, có một mẹo nhỏ để nhận biết nhanh chỉ bằng cách so sánh tỉ số. Nếu a/a’ khác b/b’, hệ có nghiệm duy nhất. Nếu a/a’ = b/b’ nhưng khác c/c’, hệ vô nghiệm. Nếu cả ba tỉ số bằng nhau, hệ có vô số nghiệm. Với các bài có tham số, mẹo này giúp tiết kiệm khá nhiều thời gian.
Phương pháp thế
Ý tưởng của phương pháp thế rất đơn giản: rút một ẩn từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại. Làm vậy, hệ đưa về một phương trình một ẩn quen thuộc. Phương pháp này phát huy hiệu quả nhất khi một trong hai ẩn đã có sẵn hệ số bằng 1 hoặc −1, vì khi đó không phải xử lý phân số.
Xét hệ x + 2y = 5 và 3x − y = 1. Từ phương trình thứ hai, ta rút được y = 3x − 1. Thế vào phương trình đầu, ta có x + 2(3x − 1) = 5. Khai triển, x + 6x − 2 = 5, tức 7x = 7, suy ra x = 1. Thay ngược lại, y = 3·1 − 1 = 2. Vậy nghiệm của hệ là (1; 2).
Sau khi giải xong, bạn nên thử lại. Thay x = 1 và y = 2 vào phương trình đầu: 1 + 4 = 5, đúng. Vào phương trình sau: 3 − 2 = 1, cũng đúng. Bước kiểm tra chỉ mất khoảng mười giây, nhưng nhiều lần nó đã giúp học sinh phát hiện lỗi dấu trước khi nộp bài.
Điểm yếu của phương pháp này nằm ở phân số. Nếu buộc phải rút ẩn từ một phương trình có hệ số 3 hoặc 5, biểu thức sẽ có mẫu số và rất dễ sai. Trong những trường hợp như vậy, phương pháp cộng thường gọn gàng hơn.
Phương pháp cộng đại số
Phương pháp này cộng hoặc trừ hai phương trình theo từng vế để khử một ẩn. Điều kiện cần là hệ số của ẩn định khử phải bằng nhau hoặc đối nhau. Nếu chưa thỏa, ta nhân từng phương trình với một số thích hợp để đạt được điều đó.
Khi hệ số đã đối nhau sẵn
Giải hệ 2x + 3y = 12 và 4x − 3y = 6. Hệ số của y là 3 và −3, đã đối nhau. Cộng hai vế lại ta được 6x = 18, suy ra x = 3. Thế vào phương trình đầu: 6 + 3y = 12, nên y = 2. Nghiệm là (3; 2). Kiểm tra với phương trình sau: 12 − 6 = 6, đúng.
Khi cần nhân trước
Xét hệ 3x + 2y = 7 và 2x − 3y = −4. Nhân phương trình đầu với 3 và phương trình sau với 2, ta có 9x + 6y = 21 và 4x − 6y = −8. Cộng lại: 13x = 13, nên x = 1. Thế vào phương trình đầu: 3 + 2y = 7, suy ra y = 2. Nghiệm là (1; 2). Kiểm tra: 2 − 6 = −4, đúng.
Trước khi nhân, nên rút gọn từng phương trình bằng cách chia cho ước chung lớn nhất của các hệ số. Chẳng hạn 4x + 6y = 10 chia cho 2 thành 2x + 3y = 5. Số càng nhỏ thì phép tính càng nhẹ và ít sai sót.
Phương pháp đồ thị
Với phương pháp đồ thị, ta vẽ hai đường thẳng trên cùng một hệ trục rồi đọc toạ độ giao điểm. Lấy ví dụ hệ x + y = 3 và x − y = 1. Đường thứ nhất đi qua (0; 3) và (3; 0). Đường thứ hai đi qua (0; −1) và (1; 0). Hai đường cắt nhau tại (2; 1), và thay vào cả hai phương trình đều thấy đúng.
Cách này rất trực quan, nhưng chỉ cho kết quả chính xác khi giao điểm có toạ độ nguyên. Nó còn giúp ta hiểu tận gốc vì sao hệ có thể vô nghiệm. Hệ x + y = 2 và 2x + 2y = 6 cho hai đường song song: đưa về dạng y = 2 − x và y = 3 − x, cả hai có cùng hệ số góc −1 nhưng khác tung độ gốc. Còn hệ x + y = 2 và 2x + 2y = 4 cho hai đường trùng nhau, nên có vô số nghiệm.
Với hàm số bậc nhất y = ax + b, hệ số a chính là đạo hàm của hàm số, và đó cũng là độ dốc của đường thẳng. Ý này bạn sẽ gặp lại khi học đạo hàm ở lớp 11. Hiểu được nó từ sớm sẽ giúp việc đọc đồ thị trở nên tự nhiên hơn nhiều.
Bài tập tổng hợp có lời giải
Bài 1: tìm hai số khi biết tổng và hiệu
Tổng hai số bằng 25, hiệu bằng 7. Gọi hai số là x và y, ta có x + y = 25 và x − y = 7. Cộng vế theo vế được 2x = 32, nên x = 16 và y = 9. Kiểm tra: 16 − 9 = 7, đúng.
Bài 2: bài toán mua văn phòng phẩm
Mua 3 bút và 2 quyển vở hết 31 nghìn đồng. Mua 2 bút và 3 quyển vở hết 29 nghìn đồng. Gọi giá một bút là b và một quyển vở là v. Ta có hệ 3b + 2v = 31 và 2b + 3v = 29. Nhân phương trình đầu với 3 và phương trình sau với 2, được 9b + 6v = 93 và 4b + 6v = 58. Trừ vế theo vế: 5b = 35, nên b = 7. Thay vào: 21 + 2v = 31, suy ra v = 5. Vậy bút giá 7 nghìn, vở giá 5 nghìn. Kiểm tra: 14 + 15 = 29, đúng.
Bài 3: hệ có tham số
Cho hệ x + y = 4 và 2x + my = 8. Rút y = 4 − x rồi thế vào phương trình thứ hai: 2x + m(4 − x) = 8, tức (2 − m)x = 8 − 4m. Khi m ≠ 2, chia hai vế cho (2 − m) ta được x = 4, suy ra y = 0. Hệ có nghiệm duy nhất (4; 0). Khi m = 2, phương trình thứ hai trở thành 2x + 2y = 8, trùng với phương trình đầu, nên hệ có vô số nghiệm. Với đề bài này, hệ không thể vô nghiệm.
Bài 4: đặt ẩn phụ
Giải hệ 1/x + 1/y = 5/6 và 1/x − 1/y = 1/6. Đặt u = 1/x và v = 1/y. Khi đó u + v = 5/6 và u − v = 1/6. Cộng lại: 2u = 1, nên u = 1/2 và v = 1/3. Suy ra x = 2 và y = 3. Đừng quên ghi điều kiện x ≠ 0 và y ≠ 0 ngay từ đầu bài.
Bài 5: nối sang phương trình bậc hai
Tìm hai số có tổng bằng 5 và tích bằng 6. Dù đây không còn là hệ bậc nhất, bạn vẫn có thể giải bằng cách thế y = 5 − x vào xy = 6, dẫn đến x² − 5x + 6 = 0. Dạng này được trình bày kỹ hơn trong bài về phương trình bậc hai, với đáp số là 2 và 3. Khi đã vững hệ bậc nhất, bước sang dạng này sẽ nhẹ nhàng hơn nhiều.
Có thể chọn cách giải theo quy tắc sau: nếu có ẩn với hệ số 1 thì dùng phương pháp thế; nếu các hệ số đối nhau hoặc dễ nhân lên thì dùng cộng đại số; còn muốn hiểu bản chất thì vẽ đồ thị. Hãy làm mỗi cách vài bài, bạn sẽ tự cảm nhận được cách nào hợp với từng dạng đề.
Nếu muốn mở rộng sang các bài toán khó hơn, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu luyện tập toán cùng nhiều dạng bài đa dạng khác.
