Giới hạn hàm số là nền móng của đạo hàm, tích phân và cả bài khảo sát hàm số. Nhiều bạn sợ phần này vì thấy toàn ký hiệu lạ. Mình hiểu cảm giác đó, vì ngày xưa mình cũng thế. Sau khi nắm vài giới hạn cơ bản và một bộ kỹ thuật cố định, phần lớn bài tập hóa ra khá dễ đoán. Bài này chúng ta đi từng bước từ khái niệm tới bài tập có lời giải.
Khái niệm giới hạn
Nói đơn giản, giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a là giá trị mà f(x) tiến sát tới khi x tiến sát a. Ta viết lim f(x) = L khi x → a. Cần nhớ rằng giới hạn quan tâm tới hành vi gần điểm a, chứ không nhất thiết là giá trị tại chính a.
Lấy ví dụ f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Tại x = 1, hàm không xác định vì mẫu bằng 0. Nhưng với x khác 1, ta rút gọn được f(x) = x + 1. Khi x tiến sát 1, giá trị f(x) tiến sát 2. Vậy giới hạn bằng 2, dù hàm không có giá trị tại 1.
Chúng ta cũng xét giới hạn khi x tiến tới vô cùng. Khi đó câu hỏi là: x càng lớn thì f(x) đi về đâu? Hàm 1/x chẳng hạn tiến về 0, vì chia 1 cho số rất lớn thì ra số rất nhỏ. Bạn có thể đọc thêm định nghĩa chặt chẽ ở bài giới hạn của hàm số trên Wikipedia, nhưng ở bậc phổ thông, hiểu theo cách trên là đủ dùng.
Giới hạn một bên
Đôi khi x tiến tới a từ bên trái và từ bên phải cho hai kết quả khác nhau. Khi đó ta nói giới hạn tại a không tồn tại. Ví dụ hàm 1/x khi x tiến tới 0: từ bên phải ra +∞, từ bên trái ra −∞. Hai bên không gặp nhau, nên không có giới hạn hữu hạn.
Các giới hạn cơ bản
Trước hết là những kết quả bạn nên thuộc lòng. Giới hạn của hằng số c là chính c. Giới hạn của x khi x tiến tới a là a. Giới hạn của 1/xⁿ khi x tiến tới vô cùng bằng 0, với n là số nguyên dương. Với các hàm liên tục như đa thức, ta chỉ việc thay giá trị x = a vào.
Bốn phép toán trên giới hạn đều hoạt động tốt, miễn các giới hạn thành phần tồn tại. Giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn. Giới hạn của tích bằng tích các giới hạn. Với thương, mẫu số phải có giới hạn khác 0.
Hai giới hạn lượng giác cũng rất hay dùng. Một là lim sin x / x = 1 khi x → 0. Hai là lim (1 − cos x) / x² = 1/2 khi x → 0. Khi gặp sin(kx), ta biến đổi để đưa về dạng sin(kx)/(kx) rồi áp dụng kết quả thứ nhất.
Với giới hạn tại vô cùng của đa thức, hạng tử bậc cao nhất quyết định tất cả. Ví dụ 3x² + x − 5 tiến tới +∞ khi x → +∞, vì 3x² lấn át các hạng tử còn lại. Với phân thức, ta so sánh bậc tử và bậc mẫu. Bậc tử nhỏ hơn thì giới hạn bằng 0. Hai bậc bằng nhau thì giới hạn là tỉ số hai hệ số cao nhất. Bậc tử lớn hơn thì giới hạn là vô cùng.
Kỹ thuật khử dạng vô định
Dạng vô định xuất hiện khi thay số vào mà ra 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ hay 0·∞. Tên gọi nghe đáng sợ, nhưng ý nghĩa đơn giản: kết quả chưa xác định, ta phải biến đổi thêm. Mình chia thành bốn kỹ thuật chính.
Phân tích và rút gọn
Dạng 0/0 của phân thức thường do tử và mẫu cùng có nhân tử (x − a). Ta phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn rồi thay số. Đây là kỹ thuật dùng nhiều nhất, và thường đủ cho đề kiểm tra thông thường.
Nhân lượng liên hợp
Khi có căn thức, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp để mất căn. Chẳng hạn liên hợp của √x − 1 là √x + 1, vì tích hai biểu thức này là x − 1. Kỹ thuật này cũng cứu được nhiều bài dạng ∞ − ∞ có căn.
Chia cho lũy thừa cao nhất
Với dạng ∞/∞ khi x tiến tới vô cùng, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x. Khi đó mọi số hạng dạng c/xⁿ tiến về 0, và kết quả hiện ra ngay.
Dùng giới hạn lượng giác đặc biệt
Dạng 0/0 chứa sin hoặc cos được đưa về lim sin x / x = 1. Ta thêm bớt hệ số cho khéo, như ví dụ ở phần dưới. Nếu bạn đã học đạo hàm, quy tắc L’Hôpital là một lối đi khác. Bạn có thể xem lại các công thức đạo hàm cần nhớ để áp dụng, dù chương trình phổ thông ít yêu cầu cách này.
Bài tập có lời giải
Chúng ta thử sức với năm bài, từ dễ đến vừa. Bạn hãy tự làm trước rồi hãy đối chiếu với lời giải.
Bài 1: lim (x² − 4)/(x − 2) khi x → 2
Thay trực tiếp ra 0/0. Phân tích x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Rút gọn nhân tử (x − 2), còn lại x + 2. Khi x → 2, giá trị này tiến tới 4. Đáp số: 4.
Bài 2: lim (x² − 9)/(x² − 5x + 6) khi x → 3
Tử là (x − 3)(x + 3). Mẫu x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Rút gọn (x − 3), còn (x + 3)/(x − 2). Thay x = 3 được 6/1 = 6. Đáp số: 6.
Bài 3: lim (3x² + x)/(2x² − 5) khi x → +∞
Bậc tử và bậc mẫu cùng bằng 2. Chia cả hai cho x², ta được (3 + 1/x)/(2 − 5/x²). Khi x lớn, 1/x và 5/x² tiến về 0. Giới hạn là 3/2.
Bài 4: lim (√x − 1)/(x − 1) khi x → 1
Nhân tử và mẫu với √x + 1. Tử thành x − 1, còn mẫu thành (x − 1)(√x + 1). Rút gọn (x − 1), được 1/(√x + 1). Thay x = 1 ra 1/2. Đáp số: 1/2.
Bài này cũng có thể làm bằng cách đặt t = √x, khi đó x − 1 = (t − 1)(t + 1). Hai cách cho cùng kết quả, bạn chọn cách nào thấy tự nhiên hơn.
Bài 5: lim (√(x² + x) − x) khi x → +∞
Đây là dạng ∞ − ∞ có căn. Nhân và chia với liên hợp √(x² + x) + x. Tử trở thành (x² + x) − x² = x. Biểu thức còn lại là x/(√(x² + x) + x).
Với x dương, đưa x ra khỏi căn: √(x² + x) = x·√(1 + 1/x). Chia cả tử và mẫu cho x, ta được 1/(√(1 + 1/x) + 1). Khi x → +∞, 1/x → 0, nên căn tiến tới 1. Giới hạn bằng 1/2.
Kết quả 1/2 hơi bất ngờ với nhiều bạn, vì cảm giác ban đầu là hiệu hai đại lượng cùng lớn sẽ ra 0 hoặc vô cùng. Đây là ví dụ rất hay cho thấy vì sao dạng vô định cần được biến đổi, không đoán bằng mắt.
Bài bonus: lim sin(3x)/(2x) khi x → 0
Viết lại sin(3x)/(2x) = (3/2)·[sin(3x)/(3x)]. Khi x → 0 thì 3x → 0, nên phần trong ngoặc tiến tới 1. Giới hạn là 3/2.
Khi làm giới hạn, mình khuyên bạn ghi rõ dạng của nó ngay dòng đầu: 0/0, ∞/∞ hay ∞ − ∞. Biết tên dạng rồi, bạn sẽ nhớ ngay kỹ thuật tương ứng. Sau đó hãy kiểm tra lại bằng cách thử một giá trị x gần a, ví dụ x = 2,001 ở bài 1, để thấy kết quả có hợp lý không.
Giới hạn còn là cầu nối tới bước khảo sát hàm số, nơi ta tìm tiệm cận bằng chính những kỹ thuật vừa học. Khi đã chắc phần này, bạn sẽ thấy đạo hàm và đồ thị không còn xa lạ. Cứ làm đều mỗi ngày vài bài, kiên nhẫn một chút, rồi kỹ năng sẽ tự đến.
