Công thức đạo hàm là phần kiến thức xuất hiện trong hầu hết các bài khảo sát hàm số, tiếp tuyến và cực trị ở lớp 12. Ghi nhớ bảng công thức là bước đầu; hiểu khi nào áp dụng quy tắc nào mới giúp lời giải gọn và chính xác. Bài viết này trình bày định nghĩa, bảng công thức cơ bản, các quy tắc tính, ba nhóm ví dụ áp dụng và những lỗi thường gặp nhất.
Định nghĩa đạo hàm
Đạo hàm của hàm số f tại điểm x₀ là giới hạn f'(x₀) = lim [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h khi h tiến về 0, nếu giới hạn này tồn tại. Về mặt ý nghĩa, f'(x₀) là tốc độ biến thiên của f tại x₀. Về hình học, f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x₀.
Xét f(x) = x². Ta có f(x + h) − f(x) = (x + h)² − x² = 2xh + h². Chia cho h được 2x + h. Khi h tiến về 0, kết quả là 2x, do đó (x²)’ = 2x. Các công thức trong bảng đều có thể chứng minh theo cách này, nhưng trong chương trình lớp 12 ta sử dụng trực tiếp. Nếu cần ôn lại ký hiệu giới hạn, xem bài giới hạn hàm số cơ bản và cách tính nhanh.
Lưu ý về điều kiện: hàm có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó, nhưng chiều ngược lại không đúng. Hàm y = |x| liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại 0, vì đồ thị gãy nhọn tại đó. Phần lý thuyết đầy đủ có trên trang Wikipedia về đạo hàm, và có thể tham khảo thêm về giới hạn của hàm số.
Bảng công thức đạo hàm cơ bản
Nhóm công thức dưới đây nên được ghi nhớ chắc chắn. Có thể chia thành ba nhóm: hàm đại số, hàm lượng giác, hàm mũ và logarit.
Hàm đại số
Đạo hàm của hằng số bằng 0: (c)’ = 0. Với lũy thừa, (xⁿ)’ = n·xⁿ⁻¹. Từ đó suy ra (x)’ = 1, (√x)’ = 1/(2√x) và (1/x)’ = −1/x². Cần chú ý dấu trừ trong công thức cuối.
Hàm lượng giác
- (sin x)’ = cos x
- (cos x)’ = −sin x
- (tan x)’ = 1/cos² x
- (cot x)’ = −1/sin² x
Đạo hàm của cos x và cot x đều mang dấu trừ.
Hàm mũ và logarit
Ta có (eˣ)’ = eˣ, (aˣ)’ = aˣ·ln a, (ln x)’ = 1/x và (logₐ x)’ = 1/(x·ln a). Hàm eˣ có đạo hàm bằng chính nó. Với cơ số a bất kỳ, cần nhân thêm ln a.
Quy tắc tính đạo hàm
Bảng công thức chỉ áp dụng trực tiếp cho hàm đơn giản. Với hàm phức tạp hơn, ta kết hợp các quy tắc sau, trong đó u và v là các hàm theo x.
Quy tắc tổng và hiệu: (u ± v)’ = u’ ± v’. Quy tắc nhân với hằng số: (k·u)’ = k·u’. Ví dụ (3x² − 5x + 7)’ = 6x − 5.
Quy tắc tích: (u·v)’ = u’·v + u·v’. Kết quả này không bằng u’·v’. Ví dụ (x²·sin x)’ = 2x·sin x + x²·cos x. Quy tắc thương: (u/v)’ = (u’·v − u·v’)/v², với v ≠ 0. Ví dụ ((x + 1)/(x − 1))’ = [(x − 1) − (x + 1)]/(x − 1)² = −2/(x − 1)².
Quy tắc hàm hợp: nếu y = f(g(x)) thì y’ = f'(g(x))·g'(x). Lấy đạo hàm hàm bên ngoài, giữ nguyên hàm bên trong, rồi nhân với đạo hàm của hàm bên trong. Ví dụ (sin 3x)’ = 3·cos 3x, ((2x + 1)⁵)’ = 10·(2x + 1)⁴ và (ln(x² + 1))’ = 2x/(x² + 1).
Ví dụ áp dụng
Viết phương trình tiếp tuyến
Cho y = x³ − 3x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2. Ta có y(2) = 8 − 6 + 1 = 3. Đạo hàm y’ = 3x² − 3, nên y'(2) = 9. Phương trình tiếp tuyến là y = 9(x − 2) + 3, tức y = 9x − 15. Kiểm tra: tại x = 2, 9·2 − 15 = 3, khớp với y(2).
Tìm cực trị
Cho f(x) = x³ − 3x². Ta có f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), bằng 0 tại x = 0 và x = 2. Đạo hàm cấp hai là f”(x) = 6x − 6. Tại x = 0, f”(0) = −6 < 0, nên x = 0 là điểm cực đại với f(0) = 0. Tại x = 2, f”(2) = 6 > 0, nên x = 2 là điểm cực tiểu với f(2) = −4. Quy trình khảo sát đầy đủ, gồm lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị, được trình bày trong bài khảo sát hàm số theo quy trình 4 bước.
Bài toán chuyển động
Một vật chuyển động với quãng đường s(t) = t³ − 6t² + 9t, t tính bằng giây. Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: v(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3). Vật đổi chiều chuyển động khi v(t) = 0, tức tại t = 1 và t = 3. Tại t = 1, s = 4; tại t = 3, s = 0. Như vậy, vật đi đến vị trí s = 4 rồi quay lại, và về đến vị trí s = 0 sau 3 giây.
Cả hai ví dụ trên đều theo cùng một trình tự: tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0, rồi dùng dấu của đạo hàm hoặc đạo hàm cấp hai để kết luận. Trình tự này cũng được dùng cho các bài toán tối ưu, chẳng hạn tìm kích thước hộp có thể tích lớn nhất.
Lỗi thường gặp
Lỗi phổ biến nhất là quên nhân với đạo hàm của hàm bên trong. Nhiều bài làm viết (sin 3x)’ = cos 3x và bỏ sót hệ số 3. Sau mỗi bước, nên kiểm tra xem hàm bên trong có phải chỉ là x hay không; nếu không, phải nhân thêm đạo hàm của nó.
Lỗi thứ hai là áp dụng (u·v)’ = u’·v’. Với u = v = x, vế trái là (x²)’ = 2x, trong khi u’·v’ = 1. Phản ví dụ đơn giản này giúp ghi nhớ đúng quy tắc tích.
Lỗi thứ ba là nhầm hàm lũy thừa với hàm mũ. (x³)’ = 3x², nhưng (3ˣ)’ = 3ˣ·ln 3. Cần đặc biệt chú ý dấu trừ trong (cos x)’ và (1/x)’.
Cuối cùng, nhiều bài làm tính đúng đạo hàm nhưng bỏ qua điều kiện xác định. Với y = ln x, đạo hàm 1/x chỉ có nghĩa khi x > 0. Luyện tập đều đặn, mỗi bài nên tự kiểm tra bằng một giá trị cụ thể, sẽ giúp việc áp dụng công thức trở nên chính xác và nhanh hơn.
