Số nguyên tố là viên gạch đầu tiên của số học. Từ lớp 6, bạn đã gặp chúng, nhưng phải đến các kỳ thi học sinh giỏi và Olympic, ta mới thấy rõ tầm quan trọng của chúng. Trong nhiều năm dạy số học, tôi thường bắt đầu từ ba nội dung: số nguyên tố, phân tích thừa số và ước chung lớn nhất. Bài này đi lần lượt qua từng phần, kèm ví dụ và bài tập có lời giải.
Số nguyên tố là gì
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có đúng hai ước dương là 1 và chính nó. Các số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, 7, 11, 13. Số lớn hơn 1 mà không phải số nguyên tố gọi là hợp số, như 4, 6, 9, 15. Số 1 không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số.
Có một sự thật hay bị quên: số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. Mọi số chẵn khác đều chia hết cho 2 nên là hợp số. Khi bài toán nói “số nguyên tố p”, bạn nên thử riêng trường hợp p = 2, vì nó thường là ngoại lệ.
Các số nguyên tố nhỏ hơn 50 gồm 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Bạn nên thuộc mười lăm số này, vì chúng xuất hiện liên tục trong đề thi. Để tìm hiểu thêm về lịch sử và các bài toán chưa có lời giải, bạn có thể đọc số nguyên tố trên Wikipedia tiếng Việt.
Kiểm tra một số có nguyên tố không
Muốn biết số n có nguyên tố hay không, chỉ cần thử chia cho các số nguyên tố không vượt quá √n. Lý do: nếu n = a·b với cả hai thừa số đều lớn hơn √n thì tích sẽ lớn hơn n. Vì vậy, trong hai thừa số luôn có một số không vượt quá √n.
Ví dụ với n = 97. Vì 9² = 81 và 10² = 100, nên √97 nằm giữa 9 và 10. Ta thử chia cho 2, 3, 5, 7. Không số nào chia hết 97, nên 97 là số nguyên tố. Với n = 91, thử đến 7 ta thấy 91 = 7 · 13, nên đó là hợp số. Nhiều bạn nhìn 91 trông giống số nguyên tố, nhưng nó chia hết cho 7.
Phân tích thừa số nguyên tố
Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều viết được thành tích các số nguyên tố, và cách viết này là duy nhất nếu bỏ qua thứ tự. Kết quả này gọi là định lý cơ bản của số học.
Để phân tích, ta chia dần cho số nguyên tố nhỏ nhất có thể, bắt đầu từ 2, rồi đến 3, rồi đến 5, và tiếp tục cho tới khi thương bằng 1. Ví dụ với 360: chia 2 được 180, chia 2 được 90, chia 2 được 45, chia 3 được 15, chia 3 được 5, chia 5 được 1. Vậy 360 = 2³ · 3² · 5. Kiểm tra: 8 · 9 · 5 = 360, đúng.
Tương tự, 840 = 2³ · 3 · 5 · 7, vì 8 · 3 · 5 · 7 = 840. Viết dưới dạng lũy thừa giúp các phép tính sau gọn hơn nhiều.
Phân tích thừa số còn giúp đếm ước. Nếu n = p^a · q^b thì n có (a + 1)(b + 1) ước dương. Với 360 = 2³ · 3² · 5, số ước là 4 · 3 · 2 = 24. Đây là công thức ngắn gọn, thường xuất hiện trong các bài toán đếm ước.
Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
Ước chung lớn nhất của hai số a và b, viết là ƯCLN(a, b), là số lớn nhất chia hết cho cả hai. Bội chung nhỏ nhất, viết là BCNN(a, b), là số dương nhỏ nhất chia hết cho cả hai. Hai khái niệm này liên hệ chặt chẽ với nhau. Bạn có thể xem thêm nhiều ví dụ tại ước chung lớn nhất trên Wikipedia.
Cách 1: dùng phân tích thừa số
Để tìm ƯCLN, lấy các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất. Để tìm BCNN, lấy tất cả thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất.
Với 360 = 2³ · 3² · 5 và 840 = 2³ · 3 · 5 · 7: ƯCLN = 2³ · 3 · 5 = 120, còn BCNN = 2³ · 3² · 5 · 7 = 2520. Kiểm tra: 120 · 2520 = 302400, bằng đúng 360 · 840. Đẳng thức ƯCLN(a, b) · BCNN(a, b) = a · b luôn đúng với hai số nguyên dương.
Cách 2: thuật toán Euclid
Khi hai số đều lớn, phân tích thừa số khá mất thời gian. Thuật toán Euclid nhanh hơn nhiều. Ý tưởng là ƯCLN(a, b) không đổi nếu thay a bằng số dư của a khi chia cho b. Lặp lại quy trình cho tới khi số dư bằng 0, khi đó số chia cuối cùng chính là ƯCLN.
Ví dụ tìm ƯCLN(252, 198). Ta có 252 = 1 · 198 + 54. Tiếp theo, 198 = 3 · 54 + 36. Sau đó, 54 = 1 · 36 + 18. Cuối cùng, 36 = 2 · 18 + 0. Vậy ƯCLN là 18. Kiểm tra: 252 = 18 · 14 và 198 = 18 · 11, trong khi 14 và 11 nguyên tố cùng nhau.
Hai số có ƯCLN bằng 1 gọi là nguyên tố cùng nhau. Chúng không nhất thiết phải là số nguyên tố: ví dụ 8 và 15 đều là hợp số nhưng ƯCLN(8, 15) = 1. Đây là nhầm lẫn khá phổ biến khi học.
Bài tập số học
Hãy thử vài bài sau để kiểm tra mức nắm kiến thức. Nên làm nháp trước khi xem lời giải.
Bài 1: chia bi vào túi
Có 360 viên bi đỏ và 840 viên bi xanh. Cần chia vào các túi giống hệt nhau, mỗi túi có cùng số bi đỏ và cùng số bi xanh, và dùng hết bi. Hỏi nhiều nhất bao nhiêu túi?
Số túi phải là ước chung của 360 và 840. Để có nhiều túi nhất, ta lấy ƯCLN, bằng 120 theo phần trên. Khi đó mỗi túi có 360 : 120 = 3 viên bi đỏ và 840 : 120 = 7 viên bi xanh. Đáp số: 120 túi.
Bài 2: p² − 1 chia hết cho 24
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p lớn hơn 3, p² − 1 chia hết cho 24.
Ta có p² − 1 = (p − 1)(p + 1). Vì p lẻ nên p − 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp. Trong hai số chẵn liên tiếp, có một số chia hết cho 4, nên tích chia hết cho 2 · 4 = 8. Mặt khác, trong ba số liên tiếp p − 1, p, p + 1 có đúng một số chia hết cho 3. Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, do đó tích (p − 1)(p + 1) chia hết cho 3.
Vì 8 và 3 nguyên tố cùng nhau, tích chia hết cho 8 · 3 = 24. Thử với p = 5: 25 − 1 = 24; với p = 7: 49 − 1 = 48 = 2 · 24. Đều đúng.
Bài 3: tìm số nguyên tố
Tìm các số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố.
Thử p = 3: được 5 và 7, cả hai đều nguyên tố. Với p khác 3, p chia 3 dư 1 hoặc dư 2. Nếu p chia 3 dư 1 thì p + 2 chia hết cho 3. Nếu p chia 3 dư 2 thì p + 4 chia hết cho 3. Trong cả hai trường hợp, một trong hai số đó lớn hơn 3 và chia hết cho 3, nên là hợp số. Vậy chỉ có p = 3.
Kỹ thuật xét số dư khi chia cho 3 rất hay gặp. Nếu muốn đào sâu hơn, bạn có thể đọc bài đồng dư thức và định lý Fermat nhỏ, nơi cách làm này được hệ thống hóa. Ngược lại, nếu bạn muốn đổi sang mảng hình học và đại số, có thể xem tổng hợp công thức lượng giác.
Các bài số học thường có giả thiết ngắn gọn nhưng đòi hỏi ý tưởng khéo léo để giải. Hãy luyện tập đều đặn và cố gắng tự tìm lời giải trước khi xem đáp án, vì chính những lần bế tắc rồi tự tìm được hướng đi mới giúp bạn tiến bộ thực sự.
