Khảo sát hàm số là dạng bài gần như năm nào cũng xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Nhiều bạn học thuộc từng bước nhưng vẫn lúng túng khi gặp hàm mới. Mình dạy ôn thi nhiều năm và thấy một điều: ai nắm được quy trình 4 bước thì làm bài rất ổn định. Bài này mình đi qua từng bước, kèm hai ví dụ có lời giải đầy đủ.
Bốn bước gồm: tìm tập xác định và xét sự biến thiên, tìm cực trị và lập bảng biến thiên, tìm điểm đặc biệt để vẽ đồ thị, cuối cùng là luyện bài tập mẫu. Chúng ta làm lần lượt theo đúng thứ tự đó.
Tập xác định và sự biến thiên
Việc đầu tiên luôn là tìm tập xác định D. Với hàm đa thức, D là toàn bộ tập số thực. Với phân thức, ta loại những giá trị làm mẫu bằng 0. Với căn thức, biểu thức dưới căn phải không âm. Bước này nghe đơn giản nhưng hay bị bỏ sót, và sai ở đây thì mọi bước sau đều lệch.
Tiếp theo là tính đạo hàm y’. Nếu bạn chưa chắc tay phần này, hãy ôn lại các công thức đạo hàm thường gặp trước khi làm tiếp. Đạo hàm sai một dấu là cả bảng biến thiên sai theo.
Sau đó ta giải phương trình y’ = 0 và tìm những điểm mà y’ không xác định. Các điểm này chia tập xác định thành nhiều khoảng. Trên mỗi khoảng, y’ giữ nguyên một dấu. Dấu dương cho biết hàm đồng biến, dấu âm cho biết hàm nghịch biến.
Ngoài ra ta cần tính giới hạn tại các đầu mút của tập xác định. Với hàm đa thức, ta xét giới hạn khi x tiến tới +∞ và −∞. Với phân thức, ta tìm thêm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Phần này dùng nhiều kiến thức về giới hạn hàm số cơ bản, nên bạn đừng xem nhẹ.
Một lưu ý về dấu của đạo hàm
Khi y’ là tam thức bậc hai (xem lại phương trình bậc hai nếu cần) với hệ số a dương, dấu của nó theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”. Nghĩa là y’ mang dấu ngược với a trong khoảng giữa hai nghiệm, và cùng dấu với a ở phía ngoài. Quy tắc này giúp bạn điền dấu nhanh mà không cần thử từng giá trị.
Nếu y’ có nghiệm kép, đạo hàm không đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Khi ấy hàm số đơn điệu trên cả khoảng và không có cực trị tại điểm này. Rất nhiều bạn nhầm chỗ đó, nên mình nhắc riêng.
Cực trị và bảng biến thiên
Cực trị xuất hiện tại điểm mà y’ đổi dấu. Nếu y’ đổi từ dương sang âm, hàm đạt cực đại. Nếu y’ đổi từ âm sang dương, hàm đạt cực tiểu. Chỉ cần nhìn dấu y’ hai bên điểm tới hạn là đủ kết luận, không cần học thêm quy tắc nào khác.
Bảng biến thiên gom toàn bộ thông tin trên vào một hình. Hàng đầu ghi các giá trị của x, gồm các điểm tới hạn và các đầu mút. Hàng thứ hai ghi dấu của y’. Hàng thứ ba vẽ mũi tên đi lên hoặc đi xuống, kèm giá trị của hàm tại các điểm quan trọng.
Mình thường khuyên học sinh vẽ bảng thật gọn. Bảng nhỏ nhưng đủ ba hàng và đủ giá trị y thì giáo viên chấm rất dễ cho điểm tối đa. Bảng to mà thiếu giá trị cực trị thì mất điểm oan.
Ví dụ 1: hàm bậc ba
Khảo sát hàm số y = x³ − 3x² + 2. Tập xác định là D = ℝ.
Đạo hàm: y’ = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm x = 0 và x = 2. Hệ số của x² là 3, dương, nên y’ dương khi x 2, và âm khi 0 < x < 2.
Vậy hàm đồng biến trên (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2). Tại x = 0, y’ đổi từ dương sang âm nên hàm đạt cực đại, giá trị y(0) = 2. Tại x = 2, y’ đổi từ âm sang dương nên hàm đạt cực tiểu, giá trị y(2) = 8 − 12 + 2 = −2.
Về giới hạn, y tiến tới +∞ khi x tiến tới +∞, và tiến tới −∞ khi x tiến tới −∞. Từ đó ta lập được bảng biến thiên đầy đủ.
Vẽ đồ thị
Đồ thị cần vài điểm đặc biệt để định hình. Đầu tiên là giao điểm với trục tung, tức là cho x = 0 rồi tính y. Tiếp theo là giao điểm với trục hoành, tức là giải y = 0 nếu phương trình giải được gọn. Sau đó thêm một hoặc hai điểm phụ để đường cong cân đối.
Với hàm bậc ba còn có một điểm đáng chú ý là điểm uốn, nơi y” = 0. Điểm uốn nằm giữa hai điểm cực trị và là tâm đối xứng của đồ thị. Biết điều này, bạn chỉ cần vẽ chính xác một nửa rồi lấy đối xứng nửa còn lại.
Hoàn tất ví dụ 1
Với y = x³ − 3x² + 2, giao điểm với trục tung là (0; 2), trùng với điểm cực đại. Để tìm giao điểm với trục hoành, ta nhận thấy x = 1 là nghiệm vì 1 − 3 + 2 = 0. Phân tích ra y = (x − 1)(x² − 2x − 2). Phương trình x² − 2x − 2 = 0 có hai nghiệm x = 1 ± √3.
Ta có y” = 6x − 6, bằng 0 tại x = 1, và y(1) = 0. Vậy điểm uốn là (1; 0), cũng là một giao điểm với trục hoành. Hai điểm phụ dễ tính là (−1; −2) và (3; 2). Chúng đối xứng nhau qua điểm uốn, đúng như lý thuyết.
Nối các điểm: đồ thị đi lên từ phía dưới bên trái, qua điểm (−1; −2), đạt đỉnh tại (0; 2), đi xuống qua điểm uốn (1; 0), chạm đáy tại (2; −2), rồi đi lên qua (3; 2). Bạn nên đánh dấu từng điểm này trước, rồi mới nối bằng một nét trơn.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1 là hàm đa thức. Chúng ta thử thêm một hàm phân thức, loại hàm có tiệm cận nên cần thêm một chút cẩn thận.
Ví dụ 2: hàm phân thức bậc nhất
Khảo sát hàm số y = (2x − 1)/(x + 1).
Mẫu số bằng 0 khi x = −1, nên tập xác định là D = ℝ trừ điểm −1. Đạo hàm theo quy tắc thương: y’ = [2(x + 1) − (2x − 1)]/(x + 1)² = 3/(x + 1)². Tử số là 3, dương, mẫu là bình phương nên không âm. Vậy y’ luôn dương trên từng khoảng xác định.
Hàm đồng biến trên (−∞; −1) và (−1; +∞). Hàm không có cực trị, vì y’ không đổi dấu và không có nghiệm.
Về tiệm cận, khi x tiến tới ±∞, tỉ số hai hệ số cao nhất cho giới hạn bằng 2. Vậy y = 2 là tiệm cận ngang. Khi x tiến tới −1 từ bên phải, tử số tiến tới −3 còn mẫu dương nhỏ dần, nên y tiến tới −∞. Từ bên trái, mẫu âm nhỏ dần nên y tiến tới +∞. Vậy x = −1 là tiệm cận đứng.
Giao điểm với trục tung là (0; −1). Giao điểm với trục hoành là (1/2; 0), vì 2x − 1 = 0 khi x = 1/2. Đồ thị gồm hai nhánh, nhánh trái nằm phía trên tiệm cận ngang, nhánh phải nằm phía dưới nó. Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận, tức điểm (−1; 2).
Những lỗi mình hay gặp khi chấm bài
Lỗi phổ biến nhất là quên kiểm tra tập xác định, đặc biệt với hàm có căn hoặc mẫu số. Lỗi thứ hai là viết bảng biến thiên mà không điền giá trị cực trị. Lỗi thứ ba là vẽ đồ thị không khớp với bảng, chẳng hạn hàm đang nghịch biến mà đường cong lại đi lên.
Một cách tự kiểm rất hiệu quả là thay một giá trị x bất kỳ vào cả hàm số lẫn đạo hàm. Với ví dụ 1, thử x = 1: y’ = 3 − 6 = −3, âm, khớp với việc hàm nghịch biến trên (0; 2). Mất ba mươi giây nhưng bắt được khá nhiều lỗi dấu.
Nếu muốn nhìn kỹ hơn về nền tảng, bạn có thể đọc thêm bài về đạo hàm trên Wikipedia tiếng Việt để hiểu ý nghĩa hình học của y’. Khi hiểu đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến, việc đọc dấu y’ để biết hàm đi lên hay đi xuống sẽ trở nên tự nhiên.
Để ôn luyện, mình gợi ý bạn tự khảo sát hai hàm sau rồi đối chiếu với các bước ở trên: y = −x³ + 3x và y = x⁴ − 2x². Hàm thứ nhất là bậc ba có hai cực trị. Hàm thứ hai là trùng phương, đạo hàm y’ = 4x(x − 1)(x + 1) có ba nghiệm, nên bảng biến thiên có ba điểm tới hạn.
Khảo sát hàm số không khó nếu bạn đi đúng trình tự và kiểm tra từng bước. Hãy bắt đầu bằng những hàm đơn giản, làm chắc rồi mới sang hàm có tham số. Mỗi tuần làm đều vài bài, bạn sẽ thấy tốc độ và độ chính xác tăng rõ rệt chỉ sau một tháng.
