Tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác bao gồm: Các phương trình lượng giác cơ bản, nâng cao kèm theo các bài tập rèn luyện có lời giải chi tiết. Ngoài ra, cuối bài viết còn có một số tài liệu phục vụ việc học tập và rèn luyện.

Phương trình lượng giác cơ bản

Có 4 phương trình lượng giác cơ bản: sin x = a, cos x = a, tan x = a, cot x =a.

1. Phương trình sin x = a

Trường hợp |a| > 1 ⟶ phương trình vô nghiệm, vì –1 ≤ sin x ≤ 1 với mọi x.

Trường hợp |a| ≤ 1 ⟶ phương trình có nghiệm, cụ thể:

. Khi đó 

. Khi đó .

2. Phương trình cos x = a

Trường hợp |a| > 1 ⟶ phương trình vô nghiệm, vì –1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x.

Trường hợp |a| ≤ 1 ⟶ phương trình có nghiệm, cụ thể:

. Khi đó .

. Khi đó .

3. Phương trình tan x = a

Điều kiện: .

. Khi đó tan x = a ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + k π, k ∊ ℤ.

. Khi đó tan x = a ⇔ x = arctan a + k π, k ∊ ℤ.

4. Phương trình cot x = a

Điều kiện: x ≠ π + k π (k ∊ ℤ).

. Khi đó cot x = a ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + k π, k ∊ ℤ.

. Khi đó cot x = a ⇔ x = arccot a + k π, k ∊ ℤ.

Ví dụ về phương trình lượng giác

Ví dụ 1: Giải các phương trình

Đề bài

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2: Giải phương trình

Đề bài

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là .

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là: .

(3) ⇔ x = 3 arctan 2 + k3π, k ∊ ℤ.

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = 3 arctan 2 + k3π, k ∊ ℤ.

Ta có:

.

Vậy nghiệm của phương trình là: .

Lời bình: Những phương trình trên là những phương trình lượng giác cơ bản. Sử dụng MTCT ta có thể tìm được các giá trị đặc biệt của hàm số lượng giác

Ở câu a) . Dùng MTCT (ở chế độ rad) ta ấn  ta được kết quả là .

Do đó: 

Hoàn toàn tương tự cho câu b) . Ta ấn:

 ta được kết quả là . Do đó: 

Ở câu c) nếu ta dùng MTCT: Thử ấn  ta được kết quả

Do đó, phương trình  ta chỉ có thể ghi .

Trên MTCT không có hàm cot, tuy nhiên ta thừa biết . Do đó, đối với câu d)  ta ấn máy như sau:

 ta được kết quả là . Do đó: 

Ví dụ 3: Giải phương trình

Đề bài

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là 

Điều kiện: 

Vậy nghiệm của phương trình là: x = – 60⁰ + k. 360⁰, k ∊ ℤ.

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là 

Nhận xét: Ngoài cách giải trên ta có thể giải theo cách sau:

Tuy nhiên không nên giải theo cách này vì mất đi vẻ đẹp của toán học. Lời giải ban đầu sử dụng công thức hạ bậc với các phép biến đổi hết sức đơn giản đưa về phương trình rất đẹp với đáp số.

Ta có:

Vậy nghiệm của (*) là 

Nhận xét: Phương trình sin 2x = cot 3x được chuyển thành , ta cũng có thể chuyển thành dạng sau: .

Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sin x = 4m – 1 (*)

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1: 

Phương trình (*) vô nghiệm

Trường hợp 2: 

Phương trình (*) có nghiệm 

Tóm lại:

Nếu   thì phương trình (*) vô nghiệm

Nếu  thì phương trình (*) có nghiệm 

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình  có nghiệm 

Hướng dẫn giải

Ta có: 

Phương trình đã cho có nghiệm .

Ví dụ 6: Giải các phương trình lượng giác sau:

sin 2x – sin 2x cos x = 0 (1)

sin x cos 2x = sin 2x cos 3x (2)

Hướng dẫn giải

Ta có

Vậy nghiệm của phương trình là .

Lưu ý: Một số học sinh mắc sai lầm nghiêm trọng (lỗi rất cơ bản) là rút gọn phương trình ban đầu cho sin 2x, dẫn đến thiếu nghiệm

Định hướng: Cả hai vế phương trình đều cho dưới dạng tích của hai hàm lượng giác. Thông thường ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Ta nhắc lại: 

Ta có

Vậy nghiệm của phương trình (*) là 

Phân loại phương trình lượng giác

1. Phương trình bậc nhất đối với một số hàm lượng giác

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at + b = 0

trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một hàm số lượng giác.

Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a, ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng

asinx + bcosx = c

Cách giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm a² + b² ≥ c²

Chia hai vế phương trình cho , ta được

.

Do  nên đặt .

Khi đó phương trình trở thành

.

3. Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x

Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x là phương trình có dạng

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0

Cách giải

Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình.

Khi cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos² x ta thu được phương trình

a tan² x + b tan x + c = 0.

Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết cách giải.

Đặc biệt: Phương trình dạng a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d ta làm như sau:

Phương trình ⇔ a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d. 1

⇔ a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d (sin² x + cos² x)

⇔ (a – d) sin² x + b sin x cos x + (c – d) cos² x = 0.

4. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x. cos x

Định nghĩa: Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x. cos x

a (sin x ± cos x) + b sin x. cos x + c = 0

Cách giải: Đặt t = sin x ± cos x (điều kiện )

Biểu diễn sin x. cos x theo t ta được phương trình cơ bản.

Phân loại và phương pháp giải bài tập

Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Giải phương trình .

Hướng dẫn giải

Ta có: .

Ví dụ 2: Giải phương trình 2 sin x – 1 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

.

Ví dụ 3: Giải phương trình 

Hướng dẫn giải

Ta có:

.

Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D.

Cách trắc nghiệm: Ta có:  có 4 vị trí biểu diễn.

Ví dụ 4: Hỏi trên đoạn [0; 2018π], phương trình  có bao nhiêu nghiệm?

Hướng dẫn giải

Ta có: .

Theo giả thiết, ta có: 

. Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương pháp

Cách 1:

Chia hai vế phương trình cho  ta được:

Đặt  phương trình trở thành:

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

.

Cách 2:

Xét  có là nghiệm hay không?

Xét .

Đặt: , ta được phương trình bậc hai theo t:

(b + c) t² – 2at + c – b = 0 (3)

Vì x ≠ π + k2π ⇔ b + c ≠ 0, nên (3) có nghiệm khi:

∆’ = a² – (c² – b²) ≥ 0 ⇔ a² + b² ≥ c².

Giải (3), với mỗi nghiệm t₀, ta có phương trình: .

Ghi chú

Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a² + b² ≥ c².

Bất đẳng thức B.C.S:

.

và

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Giải phương trình

a) sin x + 2 cos x = 5

Hướng dẫn giải

Ta thấy a² + b² = 5 < c² = 25 ⇒ phương trình đã cho vô nghiệm.

Chia hai vế của (1) cho , ta được:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là 

Chia hai vế của (1) cho , ta được:

Đặt 

Lúc đó: 

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình  thỏa mãn điều kiện 

Hướng dẫn giải

Ta có:

Do:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là 

Ví dụ 3: Giải phương trình sin 2x + 1 = 6sin x + cos 2x.

Định hướng

Chuyển cos 2x sang vế trái, dùng công thức nhân đôi 1 – cos 2x = 2 sin² x. Lúc đó phương trình đưa về phương trình tích với sự xuất hiện của nhân tử chung là sin x

Hướng dẫn giải

Ta có:

sin 2x + 1 = 6sin x + cos 2x ⇔ (sin 2x – 6sin x) + (1 – cos 2x) = 0

⇔ 2sin x (cos x – 3) + 2 sin² x = 0 ⇔ 2sin x (cos x – 3 + sin x) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x = kπ, k∊ ℤ.

Ví dụ 4: Giải phương trình 2sin 2x – cos 2x = 7sin x + 2cos x – 4.

Định hướng

Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái. Nhóm 2sin 2x – 2cos x = 2cos x (2sin x – 1), sử dụng công thức cos 2x = 1 – 2sin² x để nhóm 2sin² x – 1 – 7sin x + 4 = 2sin² x – 7sin x + 3 = (sin x – 3) (2sin x – 1)

Chú ý rằng: nếu f(x) = ax² + bx + c = a (x – x₁) (x – x₂) với x₁, x₂ là nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

PT ⇔ 4sin x. cos x – 2cos x + 2sin² x – 1 – 7sin x + 4 = 0

⇔ 2cos x (2sin x – 1) + 2sin² x – 7 sin x + 3 = 0

⇔ 2cos x (2sin x – 1) + (sin x – 3) (2sin x – 1) = 0

⇔ (2sin x – 1) (sin x + 2cos x – 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là: 

Ví dụ 5: Giải phương trình: 

Định hướng

Khai triển cả hai vế phương trình ta thấy vế trái xuất hiện 2sin² x và vế phải xuất hiện 2 cos² x, như vậy nếu đã đặt 2 ra ngoài ta sẽ được công thức nhân hai: 2 (cos² x – sin² x) = 2cos2x.

Chuyển vế, phương trình đã cho trở thành:

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm là: 

Ví dụ 6: Giải phương trình: 

Định hướng

Ở cả hai vế phương trình đều xuất hiện 7x, 5x. Chuyển vế ta được:

cos 7x.cos 5x + sin 7x.sin 5x = cos (7x – 5x) = cos 2x

Hướng dẫn giải

Ta có:

Chia hai vế của phương trình (1) cho 

Ta được:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là 

Ví dụ 7: Xác định m để phương trình  có nghiệm.

Định hướng

Phương trình asin x + bcos x = c có nghiệm khi a² + b² ≥ c².

Hướng dẫn giải

Ta có:

(*) có nghiệm 

Vậy m ≥ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 8: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

sin x + mcos x = 1 – m (1)

Hướng dẫn giải

Cách 1: Thay  vào (1). Ta có:

VT (1) = 0 – m = –m, nên (1) không có nghiệm x = π + k2π, k ∊ ℤ.

Đặt . Ta có (1) trở thành: 

⇔ 2t + m – mt² = 1 + t² – m – mt² ⇔ t² – 2t + 1 – 2m = 0 (*)

∆’ = 1 – (1 – 2m) = 2m

Nếu m < 0 thì ∆’ < 0 ⇒ (*) vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm

Nếu m = 0 thì ∆’ = 0 ⇒ (*) có nghiệm kép 

⇒ (1) có nghiệm 

Nếu m > 0 thì ∆’ > 0 ⇒ (*) có nghiệm  hoặc 

⇒ (1) có nghiệm là 

Tóm lại:

Nếu m < 0 thì (1) vô nghiệm

Nếu m = 0 thì có nghiệm 

Nếu m > 0 thì (1) có nghiệm là 

Cách 2:

(1) có dạng asinX + bcosX = c với a = 1, b = m, c = 1, X = x

Ta có:

A = a² + b² – c² = 1² + m² – (1 – m)² = 2m

Nếu m < 0 thì A < 0 ⇒ a² + b² < c² ⇒ (1) vô nghiệm

Nếu m = 0: (1) 

Nếu m > 0 thì A > 0 ⇒ a² + b² > c² ⇒ (1) có nghiệm

Chia hai vế của phương trình (1) cho 

Ta được: 

Đặt 

(*) ⇔ cos (x – φ) = cos α ⇔ x = φ + α + k2π hoặc x = φ – α + k2π, k ∊ ℤ.

(1) có dạng asinX + bcosX = c với a = 2m, b = 2m – 1, , X = x. Ta có:

a² + b² = (2m + 1)² + (2m – 1)² = 8m² + 2

(2) có nghiệm khi và chỉ khi

Với 

Với 

Dạng 3: Phương trình bậc hai đối với một số hàm lượng giác

Phương pháp

Phương trình bậc hai đối với phương pháp lượng giác là phương trình có một trong 4 dạng sau:

asin² x + bsin x + c = 0. Cách giải: t = sin x, –1 ≤ t ≤ 1.

acos² x + bcos x + c = 0. Cách giải: t = cos x, –1 ≤ t ≤ 1.

atan²x + btan x + c = 0. Cách giải: t = tan x, 

acot² x + bcot x + c = 0. Cách giải: t = cot x, x ≠ kπ, k ∊ ℤ.

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

2sin² x + 5cos x + 1 = 0

tan² x + cot² x = 2

cot² 2x – 4cot 2x + 3 = 0

Hướng dẫn giải

2sin² x + 5cos x + 1 = 0 ⇔ 2 (1 – cos² x) + 5cos x + 1 = 0 ⇔ –2cos² x + 5cos x + 3 = 0

Điều kiện: cos x ≠ 0

Điều kiện: sin 2x ≠ 0

Đặt t = tan² x, phương trình đã cho trở thành

Điều kiện: sin x ≠ 0

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

cos 2x + 9cos x + 5 = 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện: cos x ≠ 0

Ví dụ 3: Xác định m để phương trình cos x – 2mcos x + 6m – 9 = 0 (*) có nghiệm 

Hướng dẫn giải

Đặt t = cos x. Với 

Ta có: t² – 2m + 6m – 9 = 0 ⇔ t = 2m – 3 hoặc t = 3 > 1 (loại)

Phương trình (*) có nghiệm 

Ví dụ 4: Xác định m để phương trình 2cos² x – (m + 2) cos x + m = 0 (*) có đúng hai nghiệm 

Hướng dẫn giải

Đặt t = cos x, |t| ≤ 1. Với  ⇒ t ∊ [0; 1]

Ta có: 

Để (*) có đúng hai nghiệm  thì 

Dạng 4: Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x

Phương pháp

Cách 1: Kiểm tra cos x = 0 có thỏa mãn hay không?

Lưu ý: 

Khi cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos² x ≠ 0 ta được:

a. tan² x + b. tan x + c = d (1 + tan² x)

Đặt t = tan x, đưa về phương trình bậc hai theo t:

(a – d) t² + b. t + c – d = 0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

(đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x)

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Giải phương trình sin² x + 3sinxcosx – 4cos² x = 0 (*)

Hướng dẫn giải

Khi 

Ta có VT (*) = 1 ≠ VP ⇒ (*) không có nghiệm trên ⇒ cos² x ≠ 0

Chia hai vế (*) cho cos² x, ta được: tan² x + 3tan x – 4 = 0

Vậy nghiệm của (*) là 

Ví dụ 2: Giải phương trình 

Hướng dẫn giải

Khi 

Ta có: VT (*) = 2 = VP ⇒ (*) có nghiệm 

Khi : cos² x ≠ 0, chia hai vế của (*) cho cos² x

Vậy nghiệm của phương trình (*) là 

Ví dụ 3: Giải phương trình cos³ x + 2sinxcos² x – 3sin³ x = 0 (*)

Hướng dẫn giải

Khi 

Ta có: VT (*) = ± 3 ≠ VP (*) không có nghiệm 

Chia hai vế của (*) cho cos³ x, ta được:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là 

Ví dụ 4: Giải phương trình cos³ x + sin x + 3sin² x. cos x = 0 (*).

Hướng dẫn giải

Khi 

Ta có: VT (*) = ± 1 ≠ VP (*) không có nghiệm trên ⇒ cos³ x ≠ 0

Chia hai vế của (*) cho cos³ x, ta được: 1 + tan x (1 + tan² x) – 3tan² x = 0

⇔ tan³ x – 2tan² x + tan x + 1 = 0 ⇔ (tan x – 1) (tan² x – 2tan x – 1) = 0

Vậy nghiệm của (*) là 

Ví dụ 5: Xác định a để asin² x + 2sin 2x + 3acos² x = 2 (*) có nghiệm.

Hướng dẫn giải

(*) có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm ⇔ 2² + a² ≥ (2 – 2a)²

Vậy với  thì phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 6: Cho phương trình:

sin³ x + (2m + 1) sin² xcos x + (3m – 1) sinxcos³ x = 0 (*).

Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt 

Hướng dẫn giải

Khi 

Ta có: Ta có: VT (*) = ± 1 ≠ VP (*) không có nghiệm trên ⇒ cos³ x ≠ 0

Chia hai vế (*) cho cos³ x, ta được:

tan³ x + (2m + 1) tan² x + (3m – 1) tan x + m – 1 = 0

Đặt t = tan x, với  ⇒ t ∊ (–∞; 0]

Ta có: t³ + (2m + 1) t² + (3m – 1) t + m – 1 = 0

Để (*) có ba nghiệm phân biệt  khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt

Vậy m ≥ 1 thỏa mãn đề bài.

Dạng 5: Phương trình chứa sin x ± cos x và sin xcos x.

Phương pháp

Bài toán 1: a. (sin x ± cos x) + b. sin x. cos x + c = 0

Đặt: 

Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa . Suy ra x.

Lưu ý dấu:

Bài toán 2: a. | sin x ± cos x| + b. sin x. cos x + c = 0

Đặt: 

Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bài tập rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Giải các phương trình

sin x + cos x + 2sin x cos x – 1 = 0 (1)

6 (sin x – cos x) – sin x cos x – 6 = 0 (2)

Hướng dẫn giải

Đặt 

Phương trình (1) trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là 

Đặt 

Phương trình (2) trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình (2) là 

Ví dụ 2: Giải phương trình: 

Hướng dẫn giải

Đặt 

 (thỏa mãn)

Giải phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là 

Ví dụ 3: Giải phương trình sin³ x + cos³ x = 2 (sin x + cos x) – 1 (*)

Định hướng: Ta sử dụng hằng đẳng thức

sin³ x + cos³ x = (sin x + cos x) (1 – sin x cos x)

Hướng dẫn giải

Ta có:

(*) ⇔ (sin x + cos x) (1 – sin x cos x) = 2 (sin x + cos x) – 1 (1)

Đặt 

Phương trình (1) trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 

Ví dụ 4: Giải phương trình: cos 3x + 3cos x + 4cos² x + 8sin x – 8 = 0.

Định hướng: Ta sử dụng công thức nhân 3 cho cos 3x để triệt tiêu phần 3cos x phía liền kề sau đó. Như vậy, phương trình viết thành: 4cos³ x + 4cos² x + 8sin x – 8 = 0, nhóm các cụm 4cos³ x + 4cos² x = 4cos² x (cos x + 1), 8sin x – 8 = –8 (1 – sin x). Sử dụng hằng đẳng thức cos² x = 1 – sin² x = (1 – sin x) (1 + sin x). Đưa phương trình đã cho về phương trình tích với nhân tử chung là 1 – sin x.

Hướng dẫn giải

Ta có:

PT ⇔ 4cos³ x – 3cos x + 3cos x + 4cos² x + 8sin x – 8 = 0

⇔ cos² x (cos x + 1) = 2 (1 – sin x)

⇔ (1 – sin x) (1 + sin x) (cos x + 1) = 2 (1 – sin x)

Đặt . (*) trở thành

Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm là: 

Ví dụ 5: Biến đổi sin² x = 1 – cos² x, chuyển vế phương trình ta được 2cos³ x + 2cos² x + sin x – 1 = 0, đến đây hoàn toàn tương tự ví dụ 4.

Hướng dẫn giải

Ta có:

(*) ⇔ 2cos³ x – 2 (1 – cos² x) + sin x + 1 = 0 ⇔ 2cos³ x + 2cos² x + sin x – 1 = 0

⇔ 2cos² x (cos x + 1) – (1 – sin x) = 0

⇔ 2 (1 – sin x) (1 + sin x) (cos x + 1) – (1 – sin x) = 0

⇔ (1 – sin x) [2 (1 + sin x) (cos x + 1) – 1] = 0

⇔ (1 – sin x) [2 (sin x + cos x) + 2sin x cos x + 1] = 0

Ta có: 

Giải (2), ta đặt 

(2) trở thành: 2t + (t² – 1) + 1 = 0 ⇔ t (t + 2) = 0 ⇒ t = 0

Vậy nghiệm của phương trình (*) là 

Ví dụ 6: Cho . Xác định m để phương trình (*) có đúng hai nghiệm 

Hướng dẫn giải

Đặt 

Với 

Phương trình (*) trở thành

 hoặc t = 2m

Với 

Mà 

Do đó  là một nghiệm của (*)

Để (*) có đúng hai nghiệm

Tài liệu về phương trình lượng giác

Trên đây là toàn bộ kiến thức về phương trình lượng giác. Mong rằng bài viết trên sẽ giúp các bạn học sinh nắm chắc phương trình lượng giác cũng như một số dạng toán cơ bản.