• Trang chủ
  • Toán lớp 10
  • Toán lớp 11
  • Toán lớp 12
  • Cụm động từ
  • Kiến thức
  • Công thức toán học

IMO2007

Tổng hợp kiến thức giáo dục các cấp

Trang chủ / Toán lớp 11 / Phương trình lượng giác: Lý thuyết & bài tập chi tiết

Phương trình lượng giác: Lý thuyết & bài tập chi tiết

Tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác bao gồm: Các phương trình lượng giác cơ bản, nâng cao kèm theo các bài tập rèn luyện có lời giải chi tiết. Ngoài ra, cuối bài viết còn có một số tài liệu phục vụ việc học tập và rèn luyện.

Mục lục
1. Phương trình lượng giác cơ bản
2. Ví dụ về phương trình lượng giác
3. Phân loại phương trình lượng giác
4. Phân loại và phương pháp giải bài tập
5. Bài tập rèn luyện kĩ năng
6. Tài liệu về phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác cơ bản

Có 4 phương trình lượng giác cơ bản: sin x = a, cos x = a, tan x = a, cot x =a.

Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình sin x = a

Trường hợp |a| > 1 ⟶ phương trình vô nghiệm, vì –1 ≤ sin x ≤ 1 với mọi x.

Trường hợp |a| ≤ 1 ⟶ phương trình có nghiệm, cụ thể:

. Khi đó Phương trình sin x = a


. Khi đó .

2. Phương trình cos x = a

Trường hợp |a| > 1 ⟶ phương trình vô nghiệm, vì –1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x.

Trường hợp |a| ≤ 1 ⟶ phương trình có nghiệm, cụ thể:

. Khi đó Phương trình cos x = a.


. Khi đó .

3. Phương trình tan x = a

Điều kiện: .

Phương trình cos x = a. Khi đó tan x = a ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + k π, k ∊ ℤ.


. Khi đó tan x = a ⇔ x = arctan a + k π, k ∊ ℤ.

4. Phương trình cot x = a

Điều kiện: x ≠ π + k π (k ∊ ℤ).

. Khi đó cot x = a ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + k π, k ∊ ℤ.


. Khi đó cot x = a ⇔ x = arccot a + k π, k ∊ ℤ.

Ví dụ về phương trình lượng giác

Ví dụ 1: Giải các phương trình

Đề bài

Ví dụ về phương trình lượng giác

Hướng dẫn giải


Ví dụ 2: Giải phương trình

Đề bài

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là .

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là: .

(3) ⇔ x = 3 arctan 2 + k3π, k ∊ ℤ.

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = 3 arctan 2 + k3π, k ∊ ℤ.

Ta có:

.

Vậy nghiệm của phương trình là: .

Lời bình: Những phương trình trên là những phương trình lượng giác cơ bản. Sử dụng MTCT ta có thể tìm được các giá trị đặc biệt của hàm số lượng giác

Ở câu a) . Dùng MTCT (ở chế độ rad) ta ấn ta được kết quả là .

Do đó:

Hoàn toàn tương tự cho câu b) . Ta ấn:

ta được kết quả là . Do đó:

Ở câu c) nếu ta dùng MTCT: Thử ấn ta được kết quả

Do đó, phương trình ta chỉ có thể ghi .

Trên MTCT không có hàm cot, tuy nhiên ta thừa biết . Do đó, đối với câu d) ta ấn máy như sau:

ta được kết quả là . Do đó:

Ví dụ 3: Giải phương trình

Đề bài

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là

Điều kiện:

Vậy nghiệm của phương trình là: x = – 600 + k. 3600, k ∊ ℤ.

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là

Nhận xét: Ngoài cách giải trên ta có thể giải theo cách sau:

Tuy nhiên không nên giải theo cách này vì mất đi vẻ đẹp của toán học. Lời giải ban đầu sử dụng công thức hạ bậc với các phép biến đổi hết sức đơn giản đưa về phương trình rất đẹp với đáp số.

Ta có:

Vậy nghiệm của (*) là

Nhận xét: Phương trình sin 2x = cot 3x được chuyển thành , ta cũng có thể chuyển thành dạng sau: .

Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sin x = 4m – 1 (*)

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1: Giải và biện luận phương trình sin x = 4m – 1 (*)

Phương trình (*) vô nghiệm

Trường hợp 2:

Phương trình (*) có nghiệm

Tóm lại:

Nếu   thì phương trình (*) vô nghiệm

Nếu thì phương trình (*) có nghiệm

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn giải

Ta có:

Phương trình đã cho có nghiệm .

Ví dụ 6: Giải các phương trình lượng giác sau:

sin 2x – sin 2x cos x = 0 (1)

sin x cos 2x = sin 2x cos 3x (2)

Hướng dẫn giải

Ta có

Vậy nghiệm của phương trình là .

Lưu ý: Một số học sinh mắc sai lầm nghiêm trọng (lỗi rất cơ bản) là rút gọn phương trình ban đầu cho sin 2x, dẫn đến thiếu nghiệm

Định hướng: Cả hai vế phương trình đều cho dưới dạng tích của hai hàm lượng giác. Thông thường ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Ta nhắc lại:

Ta có

Vậy nghiệm của phương trình (*) là

Phân loại phương trình lượng giác

1. Phương trình bậc nhất đối với một số hàm lượng giác

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at + b = 0

trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một hàm số lượng giác.

Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a, ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng

asinx + bcosx = c

Cách giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm a2 + b2 ≥ c2

Chia hai vế phương trình cho , ta được

Phân loại phương trình lượng giác.

Do nên đặt .

Khi đó phương trình trở thành

.

3. Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x

Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x là phương trình có dạng

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0

Cách giải

Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình.

Khi cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x ta thu được phương trình

a tan2 x + b tan x + c = 0.

Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết cách giải.

Đặc biệt: Phương trình dạng a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d ta làm như sau:

Phương trình ⇔ a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d. 1

⇔ a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d (sin2 x + cos2 x)

⇔ (a – d) sin2 x + b sin x cos x + (c – d) cos2 x = 0.

4. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x. cos x

Định nghĩa: Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x. cos x

a (sin x ± cos x) + b sin x. cos x + c = 0

Cách giải: Đặt t = sin x ± cos x (điều kiện )

Biểu diễn sin x. cos x theo t ta được phương trình cơ bản.

Phân loại và phương pháp giải bài tập

Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Giải phương trình .

Hướng dẫn giải

Ta có: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Ví dụ 2: Giải phương trình 2 sin x – 1 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

.

Ví dụ 3: Giải phương trình

Hướng dẫn giải

Ta có:

.

Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D.

Cách trắc nghiệm: Ta có: có 4 vị trí biểu diễn.

Ví dụ 4: Hỏi trên đoạn [0; 2018π], phương trình có bao nhiêu nghiệm?

Hướng dẫn giải

Ta có: .

Theo giả thiết, ta có:

. Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương pháp

Cách 1:

Chia hai vế phương trình cho ta được:

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Đặt phương trình trở thành:

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

.

Cách 2:

Xét có là nghiệm hay không?

Xét .

Đặt: , ta được phương trình bậc hai theo t:

(b + c) t2 – 2at + c – b = 0 (3)

Vì x ≠ π + k2π ⇔ b + c ≠ 0, nên (3) có nghiệm khi:

∆’ = a2 – (c2 – b2) ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ c2.

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: .

Ghi chú

Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2.

Bất đẳng thức B.C.S:

.

và

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Giải phương trình

a) sin x + 2 cos x = 5

Hướng dẫn giải

Ta thấy a2 + b2 = 5 < c2 = 25 ⇒ phương trình đã cho vô nghiệm.

Chia hai vế của (1) cho , ta được:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là

Chia hai vế của (1) cho , ta được:

Đặt

Lúc đó:

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện
Hướng dẫn giải

Ta có:

Do:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là

Ví dụ 3: Giải phương trình sin 2x + 1 = 6sin x + cos 2x.
Định hướng

Chuyển cos 2x sang vế trái, dùng công thức nhân đôi 1 – cos 2x = 2 sin2 x. Lúc đó phương trình đưa về phương trình tích với sự xuất hiện của nhân tử chung là sin x

Hướng dẫn giải

Ta có:

sin 2x + 1 = 6sin x + cos 2x ⇔ (sin 2x – 6sin x) + (1 – cos 2x) = 0

⇔ 2sin x (cos x – 3) + 2 sin2 x = 0 ⇔ 2sin x (cos x – 3 + sin x) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x = kπ, k∊ ℤ.

Ví dụ 4: Giải phương trình 2sin 2x – cos 2x = 7sin x + 2cos x – 4.
Định hướng

Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái. Nhóm 2sin 2x – 2cos x = 2cos x (2sin x – 1), sử dụng công thức cos 2x = 1 – 2sin2 x để nhóm 2sin2 x – 1 – 7sin x + 4 = 2sin2 x – 7sin x + 3 = (sin x – 3) (2sin x – 1)

Chú ý rằng: nếu f(x) = ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) với x1, x2 là nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

PT ⇔ 4sin x. cos x – 2cos x + 2sin2 x – 1 – 7sin x + 4 = 0

⇔ 2cos x (2sin x – 1) + 2sin2 x – 7 sin x + 3 = 0

⇔ 2cos x (2sin x – 1) + (sin x – 3) (2sin x – 1) = 0

⇔ (2sin x – 1) (sin x + 2cos x – 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

Ví dụ 5: Giải phương trình:
Định hướng

Khai triển cả hai vế phương trình ta thấy vế trái xuất hiện 2sin2 x và vế phải xuất hiện 2 cos2 x, như vậy nếu đã đặt 2 ra ngoài ta sẽ được công thức nhân hai: 2 (cos2 x – sin2 x) = 2cos2x.

Chuyển vế, phương trình đã cho trở thành:

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm là:

Ví dụ 6: Giải phương trình:
Định hướng

Ở cả hai vế phương trình đều xuất hiện 7x, 5x. Chuyển vế ta được:

cos 7x.cos 5x + sin 7x.sin 5x = cos (7x – 5x) = cos 2x

Hướng dẫn giải

Ta có:

Chia hai vế của phương trình (1) cho

Ta được:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là

Ví dụ 7: Xác định m để phương trình có nghiệm.
Định hướng

Phương trình asin x + bcos x = c có nghiệm khi a2 + b2 ≥ c2.

Hướng dẫn giải

Ta có:

(*) có nghiệm

Vậy m ≥ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 8: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

sin x + mcos x = 1 – m (1)

Hướng dẫn giải

Cách 1: Thay vào (1). Ta có:

VT (1) = 0 – m = –m, nên (1) không có nghiệm x = π + k2π, k ∊ ℤ.

Đặt . Ta có (1) trở thành:

⇔ 2t + m – mt2 = 1 + t2 – m – mt2 ⇔ t2 – 2t + 1 – 2m = 0 (*)

∆’ = 1 – (1 – 2m) = 2m

Nếu m < 0 thì ∆’ < 0 ⇒ (*) vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm

Nếu m = 0 thì ∆’ = 0 ⇒ (*) có nghiệm kép

⇒ (1) có nghiệm

Nếu m > 0 thì ∆’ > 0 ⇒ (*) có nghiệm hoặc

⇒ (1) có nghiệm là

Tóm lại:

Nếu m < 0 thì (1) vô nghiệm

Nếu m = 0 thì có nghiệm

Nếu m > 0 thì (1) có nghiệm là

Cách 2:

(1) có dạng asinX + bcosX = c với a = 1, b = m, c = 1, X = x

Ta có:

A = a2 + b2 – c2 = 12 + m2 – (1 – m)2 = 2m

Nếu m < 0 thì A < 0 ⇒ a2 + b2 < c2 ⇒ (1) vô nghiệm

Nếu m = 0: (1)

Nếu m > 0 thì A > 0 ⇒ a2 + b2 > c2 ⇒ (1) có nghiệm

Chia hai vế của phương trình (1) cho

Ta được:

Đặt

(*) ⇔ cos (x – φ) = cos α ⇔ x = φ + α + k2π hoặc x = φ – α + k2π, k ∊ ℤ.

(1) có dạng asinX + bcosX = c với a = 2m, b = 2m – 1, , X = x. Ta có:

a2 + b2 = (2m + 1)2 + (2m – 1)2 = 8m2 + 2

(2) có nghiệm khi và chỉ khi

Với

Với

Dạng 3: Phương trình bậc hai đối với một số hàm lượng giác

Phương pháp

Phương trình bậc hai đối với phương pháp lượng giác là phương trình có một trong 4 dạng sau:

asin2 x + bsin x + c = 0. Cách giải: t = sin x, –1 ≤ t ≤ 1.

acos2 x + bcos x + c = 0. Cách giải: t = cos x, –1 ≤ t ≤ 1.

atan2x + btan x + c = 0. Cách giải: t = tan x,

acot2 x + bcot x + c = 0. Cách giải: t = cot x, x ≠ kπ, k ∊ ℤ.

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

2sin2 x + 5cos x + 1 = 0

Phương trình bậc hai đối với một số hàm lượng giác

tan2 x + cot2 x = 2

cot2 2x – 4cot 2x + 3 = 0

Hướng dẫn giải

2sin2 x + 5cos x + 1 = 0 ⇔ 2 (1 – cos2 x) + 5cos x + 1 = 0 ⇔ –2cos2 x + 5cos x + 3 = 0

Điều kiện: cos x ≠ 0

Điều kiện: sin 2x ≠ 0

Đặt t = tan2 x, phương trình đã cho trở thành

Điều kiện: sin x ≠ 0

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

cos 2x + 9cos x + 5 = 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện: cos x ≠ 0

Ví dụ 3: Xác định m để phương trình cos x – 2mcos x + 6m – 9 = 0 (*) có nghiệm
Hướng dẫn giải

Đặt t = cos x. Với

Ta có: t2 – 2m + 6m – 9 = 0 ⇔ t = 2m – 3 hoặc t = 3 > 1 (loại)

Phương trình (*) có nghiệm

Ví dụ 4: Xác định m để phương trình 2cos2 x – (m + 2) cos x + m = 0 (*) có đúng hai nghiệm
Hướng dẫn giải

Đặt t = cos x, |t| ≤ 1. Với ⇒ t ∊ [0; 1]

Ta có:

Để (*) có đúng hai nghiệm thì

Dạng 4: Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x

Phương pháp

Cách 1: Kiểm tra cos x = 0 có thỏa mãn hay không?

Lưu ý: Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x

Khi cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ 0 ta được:

a. tan2 x + b. tan x + c = d (1 + tan2 x)

Đặt t = tan x, đưa về phương trình bậc hai theo t:

(a – d) t2 + b. t + c – d = 0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

(đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x)

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Giải phương trình sin2 x + 3sinxcosx – 4cos2 x = 0 (*)
Hướng dẫn giải

Khi

Ta có VT (*) = 1 ≠ VP ⇒ (*) không có nghiệm trên ⇒ cos2 x ≠ 0

Chia hai vế (*) cho cos2 x, ta được: tan2 x + 3tan x – 4 = 0

Vậy nghiệm của (*) là

Ví dụ 2: Giải phương trình
Hướng dẫn giải

Khi

Ta có: VT (*) = 2 = VP ⇒ (*) có nghiệm

Khi : cos2 x ≠ 0, chia hai vế của (*) cho cos2 x

Vậy nghiệm của phương trình (*) là

Ví dụ 3: Giải phương trình cos3 x + 2sinxcos2 x – 3sin3 x = 0 (*)
Hướng dẫn giải

Khi

Ta có: VT (*) = ± 3 ≠ VP (*) không có nghiệm

Chia hai vế của (*) cho cos3 x, ta được:

Vậy nghiệm của phương trình (*) là

Ví dụ 4: Giải phương trình cos3 x + sin x + 3sin2 x. cos x = 0 (*).
Hướng dẫn giải

Khi

Ta có: VT (*) = ± 1 ≠ VP (*) không có nghiệm trên ⇒ cos3 x ≠ 0

Chia hai vế của (*) cho cos3 x, ta được: 1 + tan x (1 + tan2 x) – 3tan2 x = 0

⇔ tan3 x – 2tan2 x + tan x + 1 = 0 ⇔ (tan x – 1) (tan2 x – 2tan x – 1) = 0

Vậy nghiệm của (*) là

Ví dụ 5: Xác định a để asin2 x + 2sin 2x + 3acos2 x = 2 (*) có nghiệm.
Hướng dẫn giải

(*) có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm ⇔ 22 + a2 ≥ (2 – 2a)2

Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 6: Cho phương trình:

sin3 x + (2m + 1) sin2 xcos x + (3m – 1) sinxcos3 x = 0 (*).

Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Khi

Ta có: Ta có: VT (*) = ± 1 ≠ VP (*) không có nghiệm trên ⇒ cos3 x ≠ 0

Chia hai vế (*) cho cos3 x, ta được:

tan3 x + (2m + 1) tan2 x + (3m – 1) tan x + m – 1 = 0

Đặt t = tan x, với ⇒ t ∊ (–∞; 0]

Ta có: t3 + (2m + 1) t2 + (3m – 1) t + m – 1 = 0

Để (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt

Vậy m ≥ 1 thỏa mãn đề bài.

Dạng 5: Phương trình chứa sin x ± cos x và sin xcos x.

Phương pháp

Bài toán 1: a. (sin x ± cos x) + b. sin x. cos x + c = 0

Đặt:

Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa . Suy ra x.

Lưu ý dấu:

Bài toán 2: a. | sin x ± cos x| + b. sin x. cos x + c = 0

Đặt:

Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bài tập rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Giải các phương trình

sin x + cos x + 2sin x cos x – 1 = 0 (1)

6 (sin x – cos x) – sin x cos x – 6 = 0 (2)

Hướng dẫn giải

Đặt

Phương trình (1) trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là

Đặt

Phương trình (2) trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình (2) là

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải

Đặt

(thỏa mãn)

Giải phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là

Ví dụ 3: Giải phương trình sin3 x + cos3 x = 2 (sin x + cos x) – 1 (*)

Định hướng: Ta sử dụng hằng đẳng thức

sin3 x + cos3 x = (sin x + cos x) (1 – sin x cos x)

Hướng dẫn giải

Ta có:

(*) ⇔ (sin x + cos x) (1 – sin x cos x) = 2 (sin x + cos x) – 1 (1)

Đặt

Phương trình (1) trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

Ví dụ 4: Giải phương trình: cos 3x + 3cos x + 4cos2 x + 8sin x – 8 = 0.

Định hướng: Ta sử dụng công thức nhân 3 cho cos 3x để triệt tiêu phần 3cos x phía liền kề sau đó. Như vậy, phương trình viết thành: 4cos3 x + 4cos2 x + 8sin x – 8 = 0, nhóm các cụm 4cos3 x + 4cos2 x = 4cos2 x (cos x + 1), 8sin x – 8 = –8 (1 – sin x). Sử dụng hằng đẳng thức cos2 x = 1 – sin2 x = (1 – sin x) (1 + sin x). Đưa phương trình đã cho về phương trình tích với nhân tử chung là 1 – sin x.

Hướng dẫn giải

Ta có:

PT ⇔ 4cos3 x – 3cos x + 3cos x + 4cos2 x + 8sin x – 8 = 0

⇔ cos2 x (cos x + 1) = 2 (1 – sin x)

⇔ (1 – sin x) (1 + sin x) (cos x + 1) = 2 (1 – sin x)

Đặt . (*) trở thành

Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm là:

Ví dụ 5: Biến đổi sin2 x = 1 – cos2 x, chuyển vế phương trình ta được 2cos3 x + 2cos2 x + sin x – 1 = 0, đến đây hoàn toàn tương tự ví dụ 4.

Hướng dẫn giải

Ta có:

(*) ⇔ 2cos3 x – 2 (1 – cos2 x) + sin x + 1 = 0 ⇔ 2cos3 x + 2cos2 x + sin x – 1 = 0

⇔ 2cos2 x (cos x + 1) – (1 – sin x) = 0

⇔ 2 (1 – sin x) (1 + sin x) (cos x + 1) – (1 – sin x) = 0

⇔ (1 – sin x) [2 (1 + sin x) (cos x + 1) – 1] = 0

⇔ (1 – sin x) [2 (sin x + cos x) + 2sin x cos x + 1] = 0

Ta có:

Giải (2), ta đặt

(2) trở thành: 2t + (t2 – 1) + 1 = 0 ⇔ t (t + 2) = 0 ⇒ t = 0

Vậy nghiệm của phương trình (*) là

Ví dụ 6: Cho . Xác định m để phương trình (*) có đúng hai nghiệm

Hướng dẫn giải

Đặt

Với

Phương trình (*) trở thành

hoặc t = 2m

Với

Mà

Do đó là một nghiệm của (*)

Để (*) có đúng hai nghiệm

Tài liệu về phương trình lượng giác

Tài liệu về phương trình lượng giác 1 Tài liệu về phương trình lượng giác 2 Tài liệu về phương trình lượng giác 3 Tài liệu về phương trình lượng giác 4 Tài liệu về phương trình lượng giác 5 Tài liệu về phương trình lượng giác 6 Tài liệu về phương trình lượng giác 7 Tài liệu về phương trình lượng giác 8 Tài liệu về phương trình lượng giác 9 Tài liệu về phương trình lượng giác 10 Tài liệu về phương trình lượng giác 11 Tài liệu về phương trình lượng giác 12

Trên đây là toàn bộ kiến thức về phương trình lượng giác. Mong rằng bài viết trên sẽ giúp các bạn học sinh nắm chắc phương trình lượng giác cũng như một số dạng toán cơ bản.


Bài viết liên quan

Khai triển nhị thức newton

Cách khai triển nhị thức newton đạt điểm tuyệt đối

Nhị thức Newton đóng một vai trò quan trọng trong các kỳ thi lớp 11 và kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia. Bài viết này về cuộc thi IMO2007 sẽ giúp học sinh hiểu sâu về lý thuyết và các loại bài tập liên quan, bao gồm: cách khai triển nhị thức newton, […]

Phương Trình Tiếp Tuyến của Đường Tròn

Khám phá phương trình tiếp tuyến của đường tròn: Công thức và ứng dụng

Trong thế giới toán học và hình học, khái niệm về phương trình tiếp tuyến của đường tròn đã tạo nên một sự kết nối thú vị giữa đường tròn và các đường thẳng. Không chỉ dừng lại ở lý thuyết, mà khái niệm này còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. […]

lượng giác

Tổng hợp công thức lượng giác đầy đủ nhất cho lớp 9, 10 và 11

Imo2007.edu.vn sẽ chia sẻ đến các em một bản tổng hợp đầy đủ về các công thức lượng giác được sử dụng trong chương trình toán lớp 9, 10 và 11. Bao gồm các công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân, biến đổi tích thành cổng, lượng giác của các cung đặc biệt, […]

bảng đạo hàm

Bảng đạo hàm: Khám phá cách tính đạo hàm và ứng dụng của nó

Trong lĩnh vực toán học và giải tích, bảng đạo hàm là một công cụ quan trọng giúp chúng ta nhanh chóng tính được đạo hàm của các hàm số phức tạp. Đạo hàm là khái niệm cơ bản trong giải tích và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như […]

Phép tịnh tiến

Công thức phép tịnh tiến chi tiết và đầy đủ nhất

Phép tịnh tiến là một trong những dạng toán lớp 11 phổ biến, trong bài viết dưới đây, cùng imo2007 tìm hiểu công thức phép tịnh tiến chi tiết và ví dụ minh họa nhé.  Phép tịnh tiến là gì? Phép tịnh tiến là một phép biến hình trong hình học không gian, trong đó […]

công thức phép quay

Công thức phép quay trong toán học: Định nghĩa – cách tính và ví dụ minh họa

Công thức phép quay là một công cụ toán học quan trọng trong việc mô tả và tính toán các phép quay trong không gian ba chiều. Bài viết này nhằm giúp bạn hiểu rõ hơn về các công thức để tính phép quay. Trước hết, chúng ta sẽ tìm hiểu về công thức tính […]

Quy tắc đếm

Quy tắc đếm: Lý thuyết & bài tập chi tiết lớp 11

Tổng hợp các điểm lý thuyết quan trọng về quy tắc đếm và một số dạng bài tập cơ bản, nâng cao. Giúp học sinh hiểu rõ và bắt đầu làm quen với toán học xác suất. Quy tắc đếm cơ bản Quy tắc đếm là nền tảng kiến thức quan trọng trong đại số […]

Primary Sidebar

Bài viết mới

  • Cho phương trình bậc 2, cách giải và công thức nghiệm?
  • Hướng dẫn tính nguyên hàm căn x và các bài tập minh hoạ dễ hiểu
  • Công thức tính thể tích khối chóp dễ nhớ dễ học
  • Tất tần tật về công thức log mà các em cần nhớ để đạt điểm cao
  • Tổng hợp đầy đủ công thức hạ bậc lượng giác mà các em cần nắm

Chuyên mục

  • Bài viết nổi bật
  • Công thức toán học
  • Cụm động từ
  • Kiến thức
  • Toán lớp 10
  • Toán lớp 11
  • Toán lớp 12
  • Toán lớp 9

Copyright © 2021–2023 by IMO2007