Tập hợp Z hay còn gọi là tập hợp số nguyên là một tập hợp số tự nhiên phổ biến trong toán học. Bài viết dưới đây IMO2007 sẽ trình bày đến các bạn học sinh chi tiết về định nghĩa, các tập hợp con của Z và một số bài toán vận dụng.
Tập hợp Z là gì?
Tập hợp Z được định nghĩa một cách đơn giản là có thể viết được mà không có thành phần phân số. Tập hợp Z là tập hợp số nguyên chỉ ra số nguyên là miền xác định duy nhất mà các phần tử dương trong đó được sắp xếp thứ tự tốt và được bảo toàn dưới phép cộng.
Tập hợp các số nguyên Z bao gồm số 0, các số tự nhiên dương (1,2,3,…) và các nghịch đảo phép cộng của chúng (các số nguyên âm -1;-2;-3,…).
Tập hợp số nguyên Z thường được biểu thị bằng chữ in đậm (Z) hoặc chữ lớn có viền (
). Kí tự này được bắt nguồn từ tiếng Đức Zahlen (Có nghĩa là “số”)
là một tập hợp con của tập hợp số hữu tỷ 
và cũng là tập hợp con của tập số thực 
.
Tương tự như các tập hợp số tự nhiên khác thì tập hợp là tập hợp vô hạn đếm được.
Kí hiệu tập hợp Z
Biểu tượng còn được dùng để biểu thị một số tập hợp khác nhau với cách sử dụng khác nhau. Chẳng hạn chúng ta có một số trường hợp sau đây:
- Số nguyên dương:
, 
, 
- Số nguyên không âm:
, 
- Số nguyên khác không:
, 
- Số nguyên modul P:
Các kí hiệu tập hợp này có thể khác nhau theo từng đối tượng sử dụng. Một số người sử dụng kí hiệu cho số nguyên khác 0 nhưng một số lại dùng để biểu thị cho các số nguyên không âm.
Tính chất của số nguyên
Tương tự như các tập hợp số khác thì là tập hợp đóng với các phép toán cộng trừ nhân chia. Điều này có nghĩa là tổng và tích của hai số nguyên bất kì là một số nguyên. Tuy nhiên, việc bao gồm cả những số nguyên âm, số 0 đã khiến không giống như các số tự nhiên và cũng là tập hợp đóng với các phép toán trừ.
Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị và là vành cơ bản nhất. Vành đơn vị này nếu có một phép đồng cấu duy nhất từ các số nguyên.
Tập hợp không đóng với phép chia vì thương của chúng không hẳn là một số nguyên. Ví dụ 1 là số nguyên, 2 là số nguyên nhưng 1 chia 2 không phải là số nguyên.
Mối quan hệ số nguyên và số hữu tỉ
Trong toán học, các số nguyên tạo thành một nhóm nhỏ nhất và vành nhỏ nhất đó sẽ tạo thành các số tự nhiên. Theo lý thuyết đại số thì các số nguyên đó đôi khi được coi là số hữu tỉ để bạn dễ dàng phân biệt được với các số nguyên đại số tổng quát hơn. Trong thực tế, số nguyên (hữu tỉ) là số nguyên đại số và cũng đồng thời là số hữu tỉ. Chúng ta có thể theo dõi tính chất cơ bản của số nguyên theo bảng sau:
| Phép cộng | Phép nhân | |
| Tính đóng |  |  |
| Tính kết hợp |  |  |
| Tính giao hoán |  |  |
| Phần tử đơn vị |  |  |
| Phần tử nghịch đảo |  | Số nguyên duy nhất có phần tử nghịch đảo là -1 và 1 |
| Thuộc tính phân phối |  và  | |
| Không có ước của số 0 | Nếu  , thì  hoặc  hoặc cả hai. | |
Thuộc tính về lý thuyết thứ tự
Tập hợp Z là một tập hợp số không có bất kì giới hạn trên hay dưới. Ví dụ về thứ tự của tập hợp Z được hiểu như sau: 
.
Một số nguyên dương khi nó lớn hơn 0 và nguyên âm khi nó nhỏ hơn 0.
Số 0 là số trung gian và nó không âm cũng không dương.
Từ thứ tự của các số nguyên ta có tính chất sau:
thì chúng ta có hai tính chất:
- Nếu
và 
thì 
- Nếu
và 
thì 
Do các tính chất đó, người ta kết luận rằng Z cùng với thứ tự trên là một vành có thứ tự.
Câu hỏi ôn tập lại lý thuyết
Câu 1: Lấy VD thực tế trong đó có số nguyên âm, giải thích ý nghĩa của số nguyên âm đó.
Câu 2: Tập hợp Z các số nguyên bao gồm những số nào?
Câu 3: Cho biết trên trục số hai số đối nhau có đặc điểm gì?
Câu 4: Nói tập hợp Z bao gồm hai bộ phận là số tự nhiên và số nguyên âm đúng không?
Câu 5: Nhắc lại cách so sánh hai số nguyên a và b trên trục số?
Bài tập về tập hợp số nguyên
Để kết thúc lại chuyên đề này, chúng ta cùng tìm hiểu một số
Bài 1: Cho tập hợp 
Đề bài
a/ Viết tập hợp N gồm các phần tử là số đối của các phần tử thuộc tập M.
b/ Viết tập hợp P gồm các phần tử của M và N
Đáp án
a) 
b) 
Bài 2: Trong các câu sau câu nào đúng? Câu nào sai?
Đề bài
a/ Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
b/ Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.
c/ Có những số nguyên đồng thời là số tự nhiên.
d/ Có những số nguyên không là số tự nhiên.
e/ Số đối của 0 là 0, số đối của a là (–a).
g/ Khi biểu diễn các số (-5) và (-3) trên trục số thì điểm (-3) ở bên trái điểm (-5).
h/ Có những số không là số tự nhiên cũng không là số nguyên.
Đáp án
ĐS: Các câu sai: b/ g/
Bài 3: Trong các câu sau câu nào đúng? Câu nào sai?
Đề bài
a/ Bất kỳ số nguyên dương nào xũng lớn hơn số nguyên ân.
b/ Bất kỳ số tự nhiên nào cũng lớn hơn số nguyên âm.
c/ Bất kỳ số nguyên dương nào cũng lớn hơn số tự nhiên.
d/ Bất kỳ số tự nhiên nào cũng lớn hơn số nguyên dương.
e/ Bất kỳ số nguyên âm nào cũng nhỏ hơn 0.
Đáp án
ĐS: Các câu sai: d/
Bài 4: Sắp xếp số nguyên
Đề bài
a/ Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần: 2, 0, -1, -5, -17, 8
b/ Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: -103, -2004, 15, 9, -5, 2004
Đáp án
a/ -17. -5, -1, 0, 2, 8
b/ 2004, 15, 9, -5, -103, -2004
Bài 5: Trong các cách viết sau, cách viết nào đúng?
Đề bài
a/ -3 < 0
b/ 5 > -5
c/ -12 > -11
d/ |9| = 9
e/ |-2004| < 2004
f/ |-16| < |-15|
Đáp số
Các câu sai: c/ e/ f/
Bài 6: Tìm x
Đề bài
a/ |x – 5| = 3
b/ |1 – x| = 7
c/ |2x + 5| = 1
Hướng dẫn
a/ |x – 5| = 3 nên x – 5 = ± 3
- x – 5 = 3 ➡ x = 8
- x – 5 = -3 ➡ x = 2
b/ |1 – x| = 7 nên 1 – x = ± 7
- 1 – x = 7 ➡ x = -6
- 1 – x = -7 ➡ x = 8
c/ x = -2, x = 3
Bài 7: So sánh các số sau
Đề bài
a) So sánh 
và 
b) So sánh 
và 
Đáp án
a)
Ta có 
Ta có 
Do đó 
b)
Ta có 
Ta có 
Vì 
nên 
Do đó 
Tài liệu về tập hợp Z
Dưới đây là tổng hợp phần lý thuyết và một số dạng toán hay về tập hợp số nguyên. Bạn có thể theo dõi trực tiếp trên website nhé:
Trên đây là toàn bộ kiến thức về tập hợp Z. Mong rằng bài viết trên có ý nghĩa với các bạn độc giả và giúp độc giả giải thích được số nguyên là gì, cách vận dụng số nguyên vào các bài toán như thế nào.