• Trang chủ
  • Toán lớp 10
  • Toán lớp 11
  • Toán lớp 12
  • Cụm động từ
  • Kiến thức
  • Công thức toán học

IMO2007

Tổng hợp kiến thức giáo dục các cấp

Trang chủ / Toán lớp 10 / Tập hợp Z là gì, số nguyên là gì? Ví dụ & bài tập mẫu

Tập hợp Z là gì, số nguyên là gì? Ví dụ & bài tập mẫu

Tập hợp Z hay còn gọi là tập hợp số nguyên là một tập hợp số tự nhiên phổ biến trong toán học. Bài viết dưới đây IMO2007 sẽ trình bày đến các bạn học sinh chi tiết về định nghĩa, các tập hợp con của Z và một số bài toán vận dụng.

Mục lục
1. Tập hợp Z là gì?
2. Kí hiệu tập hợp Z
3. Tính chất của số nguyên
4. Mối quan hệ số nguyên và số hữu tỉ
5. Thuộc tính về lý thuyết thứ tự
6. Câu hỏi ôn tập lại lý thuyết
7. Bài tập về tập hợp số nguyên
8. Tài liệu về tập hợp Z

Tập hợp Z là gì?

Tập hợp Z được định nghĩa một cách đơn giản là có thể viết được mà không có thành phần phân số. Tập hợp Z là tập hợp số nguyên chỉ ra số nguyên là miền xác định duy nhất mà các phần tử dương trong đó được sắp xếp thứ tự tốt và được bảo toàn dưới phép cộng.

Tập hợp các số nguyên Z bao gồm số 0, các số tự nhiên dương (1,2,3,…) và các nghịch đảo phép cộng của chúng (các số nguyên âm -1;-2;-3,…).


Tập hợp số nguyên Z thường được biểu thị bằng chữ in đậm (Z) hoặc chữ lớn có viền (). Kí tự này được bắt nguồn từ tiếng Đức Zahlen (Có nghĩa là “số”)

là một tập hợp con của tập hợp số hữu tỷ và cũng là tập hợp con của tập số thực .

Tương tự như các tập hợp số tự nhiên khác thì tập hợp là tập hợp vô hạn đếm được.

Tập hợp Z - Số nguyên là gì?


Kí hiệu tập hợp Z

Biểu tượng còn được dùng để biểu thị một số tập hợp khác nhau với cách sử dụng khác nhau. Chẳng hạn chúng ta có một số trường hợp sau đây:

  • Số nguyên dương: , ,
  • Số nguyên không âm: ,
  • Số nguyên khác không: ,
  • Số nguyên modul P:

Các kí hiệu tập hợp này có thể khác nhau theo từng đối tượng sử dụng. Một số người sử dụng kí hiệu cho số nguyên khác 0 nhưng một số lại dùng để biểu thị cho các số nguyên không âm.

Tính chất của số nguyên

Tương tự như các tập hợp số khác thì là tập hợp đóng với các phép toán cộng trừ nhân chia. Điều này có nghĩa là tổng và tích của hai số nguyên bất kì là một số nguyên. Tuy nhiên, việc bao gồm cả những số nguyên âm, số 0 đã khiến không giống như các số tự nhiên và cũng là tập hợp đóng với các phép toán trừ.


Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị và là vành cơ bản nhất. Vành đơn vị này nếu có một phép đồng cấu duy nhất từ các số nguyên.

Tập hợp không đóng với phép chia vì thương của chúng không hẳn là một số nguyên. Ví dụ 1 là số nguyên, 2 là số nguyên nhưng 1 chia 2 không phải là số nguyên.

Mối quan hệ số nguyên và số hữu tỉ

Trong toán học, các số nguyên tạo thành một nhóm nhỏ nhất và vành nhỏ nhất đó sẽ tạo thành các số tự nhiên. Theo lý thuyết đại số thì các số nguyên đó đôi khi được coi là số hữu tỉ để bạn dễ dàng phân biệt được với các số nguyên đại số tổng quát hơn. Trong thực tế, số nguyên (hữu tỉ) là số nguyên đại số và cũng đồng thời là số hữu tỉ. Chúng ta có thể theo dõi tính chất cơ bản của số nguyên theo bảng sau:


Phép cộngPhép nhân
Tính đóng
Tính kết hợp
Tính giao hoán
Phần tử đơn vị
Phần tử nghịch đảoSố nguyên duy nhất có phần tử nghịch đảo là -1 và 1
Thuộc tính phân phối và
Không có ước của số 0Nếu , thì hoặc hoặc cả hai.

Thuộc tính về lý thuyết thứ tự

Tập hợp Z là một tập hợp số không có bất kì giới hạn trên hay dưới. Ví dụ về thứ tự của tập hợp Z được hiểu như sau: .

Một số nguyên dương khi nó lớn hơn 0 và nguyên âm khi nó nhỏ hơn 0.

Số 0 là số trung gian và nó không âm cũng không dương.


Từ thứ tự của các số nguyên ta có tính chất sau:

thì chúng ta có hai tính chất:

  • Nếu và thì
  • Nếu và thì

Do các tính chất đó, người ta kết luận rằng Z cùng với thứ tự trên là một vành có thứ tự.

Câu hỏi ôn tập lại lý thuyết

Câu 1: Lấy VD thực tế trong đó có số nguyên âm, giải thích ý nghĩa của số nguyên âm đó.

Câu 2: Tập hợp Z các số nguyên bao gồm những số nào?

Câu 3: Cho biết trên trục số hai số đối nhau có đặc điểm gì?

Câu 4: Nói tập hợp Z bao gồm hai bộ phận là số tự nhiên và số nguyên âm đúng không?

Câu 5: Nhắc lại cách so sánh hai số nguyên a và b trên trục số?

Bài tập về tập hợp số nguyên

Để kết thúc lại chuyên đề này, chúng ta cùng tìm hiểu một số

Bài 1: Cho tập hợp

Đề bài

a/ Viết tập hợp N gồm các phần tử là số đối của các phần tử thuộc tập M.

b/ Viết tập hợp P gồm các phần tử của M và N

Đáp án

a)

b)

Bài 2: Trong các câu sau câu nào đúng? Câu nào sai?

Đề bài

a/ Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.

b/ Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.

c/ Có những số nguyên đồng thời là số tự nhiên.

d/ Có những số nguyên không là số tự nhiên.

e/ Số đối của 0 là 0, số đối của a là (–a).

g/ Khi biểu diễn các số (-5) và (-3) trên trục số thì điểm (-3) ở bên trái điểm (-5).

h/ Có những số không là số tự nhiên cũng không là số nguyên.

Đáp án

ĐS: Các câu sai: b/ g/

Bài 3: Trong các câu sau câu nào đúng? Câu nào sai?

Đề bài

a/ Bất kỳ số nguyên dương nào xũng lớn hơn số nguyên ân.

b/ Bất kỳ số tự nhiên nào cũng lớn hơn số nguyên âm.

c/ Bất kỳ số nguyên dương nào cũng lớn hơn số tự nhiên.

d/ Bất kỳ số tự nhiên nào cũng lớn hơn số nguyên dương.

e/ Bất kỳ số nguyên âm nào cũng nhỏ hơn 0.

Đáp án

ĐS: Các câu sai: d/

Bài 4: Sắp xếp số nguyên

Đề bài

a/ Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần: 2, 0, -1, -5, -17, 8

b/ Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: -103, -2004, 15, 9, -5, 2004

Đáp án

a/ -17. -5, -1, 0, 2, 8

b/ 2004, 15, 9, -5, -103, -2004

Bài 5: Trong các cách viết sau, cách viết nào đúng?

Đề bài

a/ -3 < 0

b/ 5 > -5

c/ -12 > -11

d/ |9| = 9

e/ |-2004| < 2004

f/ |-16| < |-15|

Đáp số

Các câu sai: c/ e/ f/

Bài 6: Tìm x

Đề bài

a/ |x – 5| = 3

b/ |1 – x| = 7

c/ |2x + 5| = 1

Hướng dẫn

a/ |x – 5| = 3 nên x – 5 = ± 3

  • x – 5 = 3   ➡ x = 8
  • x – 5 = -3  ➡ x = 2

b/ |1 – x| = 7 nên 1 – x = ± 7

  • 1 – x = 7   ➡ x = -6
  • 1 – x = -7  ➡ x = 8

c/ x = -2, x = 3

Bài 7: So sánh các số sau

Đề bài

a) So sánh và

b) So sánh và

Đáp án

a)

Ta có

Ta có

Do đó

b)

Ta có

Ta có

Vì nên

Do đó

Tài liệu về tập hợp Z

Dưới đây là tổng hợp phần lý thuyết và một số dạng toán hay về tập hợp số nguyên. Bạn có thể theo dõi trực tiếp trên website nhé:

Tài liệu về tập hợp Z 1

Tài liệu về tập hợp Z 2

Tài liệu về tập hợp Z 3

Tài liệu về tập hợp Z 4

Tài liệu về tập hợp Z 5

Tài liệu về tập hợp Z 6

Tài liệu về tập hợp Z 7

Tài liệu về tập hợp Z 8
Trên đây là toàn bộ kiến thức về tập hợp Z. Mong rằng bài viết trên có ý nghĩa với các bạn độc giả và giúp độc giả giải thích được số nguyên là gì, cách vận dụng số nguyên vào các bài toán như thế nào.


Bài viết liên quan

Tích vô hướng 2 vecto

Tích vô hướng 2 vecto là gì? Tổng hợp công thức dễ nhớ, dễ thuộc

Tích vô hướng 2 vecto là một trong những khái niệm quan trọng trong toán học và đặc biệt quan trọng trong lĩnh vực đại số tuyến tính và hình học không gian. Trong bài viết này, các em cùng với imo2007 sẽ đi sâu vào khám phá về tích vô hướng, hiểu rõ cách […]

tính độ dài véc tơ

Cách tính độ dài véc tơ toán 10 đơn giản, có vận dụng dễ hiểu

Việc hiểu rõ về độ dài của vector là một phần quan trọng trong quá trình học cách giải các bài toán liên quan đến vector trong không gian khi bạn đang học môn toán ở trình độ trung học phổ thông. Imo2007 sẽ cùng các em khám phá các khái niệm về vector, cách […]

dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai là gì? Mẹo giải bài tập tam thức bậc hai

Để đảm bảo thành công trong việc học tam thức bậc hai, điều quan trọng là hiểu vững lý thuyết và có khả năng giải quyết nhiều dạng bài tập. imo2007 đã tổng hợp kiến thức về tam thức bậc hai trong môn Toán lớp 10, bao gồm cách xác định dấu của nó và […]

Góc giữa 2 đường thẳng

Hướng dẫn xác định góc giữa 2 đường thẳng cực nhanh trong toán lớp 10

Góc giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy là một khái niệm quan trọng trong toán học cấp 10, đòi hỏi sự hiểu biết về nhiều công thức và kỹ năng giải bài tập. Trong bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập về khái niệm này, xem xét cách tạo […]

định lý cosin

Định lý cosin và vận dụng định lí cosin trong tam giác

Định lý cosin, còn được gọi là định lý cosin trong tam giác, là một trong những định lý quan trọng trong hình học tam giác. Nó liên quan đến mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác không góc vuông. Trong bài viết này, imo2007 sẽ cùng các em tìm […]

lượng giác

Tổng hợp công thức lượng giác đầy đủ nhất cho lớp 9, 10 và 11

Imo2007.edu.vn sẽ chia sẻ đến các em một bản tổng hợp đầy đủ về các công thức lượng giác được sử dụng trong chương trình toán lớp 9, 10 và 11. Bao gồm các công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân, biến đổi tích thành cổng, lượng giác của các cung đặc biệt, […]

Khám phá diện tích mặt cầu – Những điều cần biết

Bạn có từng tự hỏi về mặt cầu và cách tính diện tích của nó? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá về diện tích mặt cầu – một khái niệm không chỉ thú vị mà còn rất hữu ích trong học tập và cuộc sống hàng ngày. Hãy cùng imo2007eduvn dành […]

Công thức lượng giác: Khái niệm và ứng dụng cơ bản trong toán học

Công thức lượng giác (Công thức góc) là một khái niệm quan trọng và cơ bản trong toán học, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích hàm số và giải các bài toán liên quan đến tam giác. Nhờ vào công thức này, chúng ta có thể tính toán các giá trị của […]

Primary Sidebar

Bài viết mới

  • Cho phương trình bậc 2, cách giải và công thức nghiệm?
  • Hướng dẫn tính nguyên hàm căn x và các bài tập minh hoạ dễ hiểu
  • Công thức tính thể tích khối chóp dễ nhớ dễ học
  • Tất tần tật về công thức log mà các em cần nhớ để đạt điểm cao
  • Tổng hợp đầy đủ công thức hạ bậc lượng giác mà các em cần nắm

Chuyên mục

  • Bài viết nổi bật
  • Công thức toán học
  • Cụm động từ
  • Kiến thức
  • Toán lớp 10
  • Toán lớp 11
  • Toán lớp 12
  • Toán lớp 9

Copyright © 2021–2023 by IMO2007