Định lí vi ét là một công thức toán học quan trọng trong đại số, được giới thiệu trong chương trình học toán lớp 9. Hãy cùng imo2007 ôn lại định lý này trong bài viết sau nhé.
Định lý Vi-ét là gì?
Định lý Vi-ét là công thức toán học thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra. Viète được phiên âm theo tiếng Việt là “Vi-ét”.
Định lý Vi-ét bậc 2
Đối với phương trình bậc hai có dạng ax^2 + bx + c = 0 (với a khác 0), nếu có hai nghiệm x1 và x2, thì tổng và tích của chúng được xác định bởi:
Tổng: x1 + x2 = -b/a
Tích: x1 * x2 = c/a
Ngược lại, nếu có hai số x1 và x2 thỏa mãn:
x1 + x2 = S và x1 * x2 = P
thì x1 và x2 là nghiệm của phương trình t^2 – St + P = 0.
>> Xem thêm: Phương trình lượng giác: Lý thuyết & bài tập chi tiết
Ứng dụng của định lý Vi-ét bậc 2
Dạng 1
Biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm Trong khi làm bài tập dạng này, các em cần lưu ý sự tồn tại nghiệm của phương trình, sau đó biểu diễn các biểu thức qua x1+x2 và x1.x2 để có thể sử dụng định lý Vi – et. Các em thường sẽ gặp các hằng đẳng thức sau đây:
a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)
Dạng 2
Hệ đối xứng hai ẩn kiểu 1 Hệ đối xứng hai ẩn kiểu 1 là hệ gồm hai phương trình hai ẩn. Trong đó, nếu các em hoán đổi vai trò các ẩn trong từng phương trình thì mỗi phương trình đều không thay đổi. Để giải hệ đối xứng kiểu 1 bằng cách sử dụng định lý Vi – et, các em thường biểu diễn các phương trình qua tổng và tích của hai ẩn đó. Các hằng đẳng thức phổ biến là:
a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b) (a^2)^2 + (b^2)^2 = (a^2+b^2)^2 – 2a^2b^2
Dạng 3
Chứng minh bất đẳng thức Định lý Vi – ét vẫn có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng thức. Tất nhiên, ở đây các em hiểu là dùng nó để biến đổi trung gian. Để có thể sử dụng định lý Vi – ét, thông thường các dữ kiện của bài toán thường đưa về được dưới dạng tổng và tích các ẩn. Qúa trình chứng minh các em có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, bất đẳng thức cổ điển, các phép biến đổi tương đương.
Dạng 4
Ứng dụng vào bài toán tính cực trị của hàm số Đây là dạng bài tập phổ biến trong các đề thi Đại học gần đây. Điều quan trọng ở trong dạng bài tập này là làm sao các em biểu diễn được tọa độ điểm cực trị một cách gọn gang và nhanh chóng nhất. Định lý Vi – ét bậc 2 có thể được áp dụng để giải các bài toán tính cực trị một cách hiệu quả và dễ dàng.
Dạng 5
Ứng dụng vào bài toán tiếp tuyến Bài toán về tiếp tuyến thường liên quan tới các điều kiện tiếp xúc của đường cong và đường thẳng. Để giải bài toán này, các em cần biết rằng tọa độ điểm tiếp xúc thường là nghiệm của một phương trình bậc hai. Nhờ vào định lý Vi – ét bậc 2, các em có thể biểu diễn các biểu thức liên quan đến tọa độ điểm tiếp xúc và giải bài toán một cách hiệu quả.
Dạng 6
Tương giao của 2 đồ thị và tập hợp điểm Trong dạng bài tập này, các em cũng cần viết phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Từ phương trình này, các em sử dụng định lý Vi – ét để biểu diễn các biểu thức theo hệ số của phương trình và cuối cùng đánh giá biểu thức đó thông qua các hệ số đã thay vào.
Dạng 7
Ứng dụng của 1 hệ thức truy hồi Việc ứng dụng hệ thức truy hồi tuyến tính giúp các em có thể giải quyết rất nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao một cách tiện lợi và hiệu quả. Đây là một trong những kỹ thuật quan trọng được học trong môn Toán.
Dạng 8
So sánh nghiệm của tam thức bậc 2 với 1 số Bài toán định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực bất kỳ không còn được trình bày trong chương trình học chính khóa mà nó đã được giảm tải theo quy định của chương trình mới. Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy và giải các bài tập, nếu các em biết sử dụng định lý đảo và bài toán so sánh nghiệm thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn rất nhiều.
Định lý Vi-ét bậc 3
Đối với phương trình bậc ba có dạng ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (với a khác 0) và có ba nghiệm x1, x2, x3, thì có các mối quan hệ sau:
Tổng: x1 + x2 + x3 = -b/a
Tổng tích hai cặp nghiệm: x1*x2 + x2*x3 + x3*x1 = c/a
Tích ba nghiệm: x1*x2*x3 = -d/a
Như vậy, các em vừa ôn tập lại lý thuyết về định lý vi ét, chúc các em học tốt môn Toán.