Công thức lượng giác là phần khiến nhiều bạn lớp 11 và 12 đau đầu nhất. Danh sách dài, dễ nhầm dấu, và quên một công thức là cả bài giải bị chặn lại. Mình ôn thi cho học sinh nhiều năm và rút ra một cách học khá nhẹ: thuộc ít công thức gốc, rồi tự suy ra phần còn lại. Bài này chúng ta sắp xếp lại các công thức lượng giác cần nhớ theo đúng logic đó, kèm ví dụ có lời giải.
Hệ thức cơ bản
Mọi thứ bắt đầu từ vòng tròn đơn vị. Với góc a, điểm trên vòng tròn có tọa độ (cos a; sin a). Vì điểm đó cách gốc đúng 1 đơn vị, định lý Pythagoras cho ngay hệ thức quan trọng nhất: sin²a + cos²a = 1. Nếu bạn muốn nhớ lại gốc rễ, hãy xem bài về định lý Pythagoras để thấy vì sao nó đúng.
Từ công thức đó và định nghĩa tan a = sin a / cos a, cot a = cos a / sin a, ta suy ra hàng loạt hệ thức khác. Chia hai vế của sin²a + cos²a = 1 cho cos²a, ta được 1 + tan²a = 1/cos²a. Chia cho sin²a, ta được 1 + cot²a = 1/sin²a. Ngoài ra tan a · cot a = 1 khi cả hai có nghĩa.
Tất cả điều kiện “có nghĩa” cần chú ý. tan a chỉ xác định khi cos a khác 0, cot a chỉ xác định khi sin a khác 0. Nhiều bạn mất điểm vì bỏ qua điều kiện này khi giải phương trình.
Các góc liên quan
Một nhóm công thức nhỏ nhưng rất tiện là công thức góc đối, bù, phụ. Với góc đối: cos(−a) = cos a, còn sin(−a) = −sin a. Với góc bù: sin(π − a) = sin a, cos(π − a) = −cos a. Với góc phụ: sin(π/2 − a) = cos a, cos(π/2 − a) = sin a.
Đừng học thuộc từng dòng. Mình sẽ chỉ cách nhớ bằng hình ở phần cuối bài, và bạn sẽ thấy chúng gần như hiển nhiên.
Công thức cộng
Đây là nhóm công thức mà các công thức khác đều dựa vào. Có sáu công thức, ghép thành ba cặp. Với sin: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b, và sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b. Dấu ở giữa giữ nguyên theo dấu ở vế trái.
Với cos thì dấu đảo ngược: cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b, còn cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Mẹo của mình là nhớ rằng cos “ngược dấu”, và hai số hạng của cos cùng tên hàm nhân nhau.
Với tan: tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a tan b), và tan(a − b) = (tan a − tan b)/(1 + tan a tan b). Bạn có thể tự suy ra bằng cách chia sin cho cos.
Ví dụ 1: tính sin 15°
Ta viết 15° = 45° − 30°, rồi dùng công thức hiệu: sin 15° = sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30°.
Thay giá trị quen thuộc: sin 45° = cos 45° = √2/2, cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2. Ta có sin 15° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4.
Giá trị xấp xỉ khoảng 0,2588, hợp lý vì 15° là góc nhỏ. Cách làm này dùng được cho mọi góc là tổng hoặc hiệu của hai góc đặc biệt, như 75° hay 105°.
Công thức nhân đôi và hạ bậc
Cho b = a trong công thức cộng, ta được công thức nhân đôi. Với sin: sin 2a = 2 sin a cos a. Với cos, có đến ba dạng: cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a. Ba dạng này tương đương nhau nhờ sin²a + cos²a = 1, và mỗi dạng có lúc tiện hơn.
Với tan: tan 2a = 2 tan a /(1 − tan²a). Công thức này hay dùng khi đề cho sẵn tan a.
Từ hai dạng sau của cos 2a, ta rút ra công thức hạ bậc. Đó là sin²a = (1 − cos 2a)/2 và cos²a = (1 + cos 2a)/2. Công thức hạ bậc biến bình phương thành bậc nhất theo góc gấp đôi, nên rất hữu ích khi giải phương trình hoặc tính tích phân sau này.
Ví dụ 2: biết cos a = 3/5, tính sin 2a và cos 2a
Đề cho góc a thuộc khoảng (0; π/2), tức sin a dương. Từ sin²a = 1 − cos²a = 1 − 9/25 = 16/25, ta lấy sin a = 4/5.
Áp dụng công thức nhân đôi: sin 2a = 2 · (4/5) · (3/5) = 24/25. Còn cos 2a = cos²a − sin²a = 9/25 − 16/25 = −7/25.
Kiểm tra lại bằng hệ thức cơ bản: (24/25)² + (7/25)² = (576 + 49)/625 = 625/625 = 1. Kết quả khớp, nên ta yên tâm. Thói quen kiểm tra này chỉ tốn mười giây nhưng rất đáng giá.
Ví dụ 3: giải phương trình sin²x = 1/4
Dùng hạ bậc: sin²x = (1 − cos 2x)/2. Phương trình thành (1 − cos 2x)/2 = 1/4, suy ra cos 2x = 1/2.
Ta có 2x = π/3 + k2π hoặc 2x = −π/3 + k2π, với k là số nguyên. Chia đôi, x = π/6 + kπ hoặc x = −π/6 + kπ. Hai họ nghiệm này gộp lại được thành x = ±π/6 + kπ.
Bạn có thể thử bằng cách giải trực tiếp sin x = 1/2 hoặc sin x = −1/2, và sẽ ra cùng tập nghiệm. Hạ bậc chỉ nhanh hơn khi biểu thức phức tạp hơn nhiều.
Mẹo ghi nhớ bằng vòng tròn lượng giác
Hãy nghĩ vòng tròn lượng giác như tấm bản đồ. Trục hoành cho giá trị cos, trục tung cho giá trị sin. Khi bạn xoay góc a, điểm di chuyển và hai tọa độ thay đổi theo. Hầu hết công thức góc đối, bù, phụ chỉ là câu chuyện phản chiếu qua trục hay qua đường phân giác.
Góc đối a và −a nằm đối xứng qua trục hoành, nên hoành độ giữ nguyên còn tung độ đổi dấu. Đó là lý do cos(−a) = cos a và sin(−a) = −sin a. Góc a và π − a đối xứng qua trục tung, nên tung độ giữ nguyên, hoành độ đổi dấu. Vậy sin giữ, cos đổi.
Dấu của các hàm theo góc phần tư cũng đọc được từ hình. Ở góc phần tư thứ nhất, mọi hàm đều dương. Ở góc phần tư thứ hai, chỉ sin dương. Ở góc phần tư thứ ba, chỉ tan và cot dương. Ở góc phần tư thứ tư, chỉ cos dương. Nhiều bạn học sinh của mình nhớ bằng câu “Nhất cả, nhì sin, ba tan, tư cos”.
Một mẹo nữa là học bảng giá trị góc đặc biệt qua các số 0, 1, 2, 3, 4 chia cho 2 rồi lấy căn. Giá trị sin của 0°, 30°, 45°, 60°, 90° lần lượt là √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Hàng cos là chính dãy đó viết ngược lại. Học một dòng là có hai dòng.
Tính chất lặp lại của sin và cos sau mỗi vòng 2π là điều bạn nên hiểu thật rõ. Bạn có thể đọc thêm về hàm số lượng giác trên Wikipedia để xem các đồ thị tuần hoàn của chúng. Khi nhìn đồ thị, việc nhớ chu kỳ của từng hàm sẽ nhẹ nhàng hơn nhiều.
Công thức lượng giác còn xuất hiện ở các chương sau. Khi tính đạo hàm của sin x và cos x, bạn sẽ cần chắc phần này, nên có thể ghé lại bài các công thức đạo hàm thường gặp. Còn nếu thích đổi gió sang mảng số học, mình có bài về số nguyên tố và ước chung lớn nhất cho bạn nghỉ đầu óc một chút.
Lời khuyên cuối của mình: mỗi tuần hãy tự viết lại toàn bộ công thức từ sáu công thức cộng, không nhìn tài liệu. Chỗ nào bí thì đó là chỗ cần ôn. Làm đều đặn, sau vài tuần bạn sẽ thấy các công thức quen như tên người bạn thân.
