Trong chương trình toán cấp 3, việc tính nguyên hàm từng phần thường được coi là một phần khá khó khăn và đòi hỏi việc áp dụng nhiều công thức. Để giúp bạn hiểu dễ dàng hơn, bài viết sau đây sẽ giới thiệu cách tính nguyên hàm từng phần một cách đơn giản thông qua các ví dụ minh họa từ kỳ thi THPT Quốc gia mà imo2007 sưu tầm được. Hãy cùng tham khảo ngay nhé!
Nguyên hàm từng phần là gì?
Nguyên hàm từng phần là phương pháp quan trọng để giải quyết các dạng bài toán liên quan đến tích phân. Khi chúng ta xét hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên một khoảng xác định K, ta có công thức nguyên hàm từng phần là ∫udv = uv – ∫vdu.
Một lưu ý quan trọng là phương pháp nguyên hàm từng phần được áp dụng khi chúng ta đang xem xét một nguyên hàm có dạng I = ∫f(x)g(x)dx, với f(x) và g(x) là hai trong số bốn loại hàm: hàm logarit, hàm lượng giác, hàm đa thức và hàm mũ.
Với phương pháp này, việc tính toán nguyên hàm trở nên dễ dàng hơn và có thể được áp dụng một cách hiệu quả trong nhiều trường hợp khác nhau.
Tổng hợp các công thức tính nguyên hàm từng phần
Cho 2 hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên tập K. Khi đó ta có công thức tính nguyên hàm từng phần như sau:
Để tính nguyên hàm ∫f(x).g(x)dx, chúng ta làm theo công thức sau:
Bước 1: Ta đặt:
Theo quy trình này, ta chọn G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm g(x).
Bước 2: Áp dụng công thức:
∫f(x)g(x)dx = f(x)G(x) − ∫G(x)f′(x)dx.
Lưu ý: Khi ta xem xét tích phân I = ∫f(x)g(x)dx và f(x), g(x) thuộc một trong bốn loại hàm sau: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, ta sẽ đặt ẩn theo quy tắc sau đây:
“Nhất log (bao gồm các hàm log, ln) – Nhì đa (tức là các hàm đa thức)
Tam lượng (tức là các hàm lượng giác) – Tứ mũ ( tức là các hàm mũ)”
Trong quy tắc trên, thứ tự các loại hàm xác định thứ tự đặt u.
- Trong trường hợp nếu f(x) là hàm log, g(x) là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt:
- Tương tự, trong trường hợp nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm đa thức, ta sẽ đặt:
Cách giải nguyên hàm từng phần
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit
Cho nguyên hàm của hàm số logarit sau:
với f(x) là một hàm của đa thức
Cách giải
Bước 1: Ta tiến hành đặt
Bước 2: Sau khi làm xong bước 1 ta biến đổi hàm số về dạng
Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ
với f(x) là một hàm đa thức
Cách giải:
Bước 1: Ta tiến hành đặt
Bước 2: Dựa vào bước đặt ở bước 1, ta có: ∫f(x)e ax+b dx=uv–∫vdu
Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức
Cho nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Hoặc
Cách giải:
Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau:
Bước 2: Ta biến đổi thành
Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ
Cho nguyên hàm kết hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ:
Các bước giải như sau:
Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau
Bước 2: Khi đó, nguyên hàm sẽ tính theo công thức tổng quát uv–∫vdu
Lưu ý: Đây là dạng toán phức tạp nên cần lấy nguyên hàm 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1 ta có thể đặt khác chút bằng cách đặt:
Trong bài viết này, imo2007 đã tóm tắt khái niệm và các công thức cơ bản về nguyên hàm từng phần, cung cấp các bài tập thực hành để giúp học sinh hiểu và áp dụng chúng một cách hiệu quả. Chúc các em học tập thật tốt.
Xem thêm: Tổng hợp đầy đủ công thức đạo hàm log, logarit, căn bậc 3, căn x, lượng giác