Đạo hàm lượng giác là một loạt các hàm tuyến tính mà các em thường gặp trong hình học và vật lý. Tuy nhiên, đối với nhiều em, đặc biệt là hàm đạo hàm của Arctan X, có thể gây khó khăn trong quá trình học tập. Để giúp các em hiểu và nhớ lâu hơn, hãy cùng imo2007 khám phá bản chất của hàm đạo hàm arctan X thông qua bài viết dưới đây.
Hàm y = arctan x là gì?
Theo định nghĩa, hàm y = arctan x được xem như là một tiếp tuyến nghịch đảo của x, với x thuộc tập hợp các số thực (x ∈ ℝ). Khi hàm tiếp tuyến của y có công thức là tan y = x, thì ta có thể diễn đạt rằng arctan của x sẽ là hàm tiếp tuyến nghịch đảo của x, được biểu diễn bằng công thức y = arctan x = tan^(-1)(x).
Ví dụ cụ thể: Xét hàm y = arctan x với x = 1. Khi đó, ta có y = arctan 1 = tan^(-1)(1) = π/4 rad = 45 độ.
Hình dạng đồ thị
Đồ thị của hàm số y = arctan x, hay được ký hiệu là f(x) = arctan x, có dạng một đường cong tiếp tuyến đối xứng qua trục tọa độ. Hàm số này nằm trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba, và cách xa cả hai trục tọa độ một cách đều đặn. Điều này có nghĩa là giá trị của hàm số arctan x luôn nằm trong khoảng từ -π/2 đến π/2 radian, hoặc từ -90° đến 90° khi diễn đạt bằng độ. Điều này cho thấy rằng hàm số arctan x là một hàm số giới hạn và đối xứng qua gốc tọa độ.
Quy tắc các em cần nhớ
Để sử dụng hàm số y = arctan x hiệu quả trong giải toán, việc nắm vững các quy tắc của hàm arctan là rất quan trọng để có khả năng áp dụng linh hoạt. Dưới đây là một bảng tóm tắt các quy tắc cần nhớ khi làm việc với hàm arctan:
Quy tắc | quy ước |
Tan của arctan x | tan ( arctan x ) = x |
Arctan của đối số phủ định với arctan x | arctan ( – x ) = – arctan x |
Arctan của tổng số | arctan α + arctan β = arctan [ ( α + β ) / (1- αβ ) ] |
Sự khác biệt của góc Arctan α và β | arctan α – arctan β = arctan [ ( α – β ) / (1+ αβ ) ] |
sin của arctan x | sin ( arctan x ) = x/ căn (1 + x^2) |
cosin của arctan x | cos ( arctan x ) = 1/ căn (1 + x^2) |
lập luận đối ứng |  |
Arctan x được suy ra từ arcsin x | arctan x = arcsin x/ căn (x^2 + 1) |
Đạo hàm của arctan x |
|
Tích phân không xác định của arctan x |  |
Công thức tính đạo hàm của hàm số y = arctan x
Trong toán học, bên cạnh những bài toán có kết quả hội tụ tới một giới hạn cố định, chúng ta cũng gặp vô số bài toán thuộc loại vô hạn, tức là chúng tiến đến vô cùng. Điều này đặt ra yêu cầu cần tìm hiểu về giới hạn của các dãy số này. Từ đó, phát triển ra các khái niệm quan trọng như giới hạn (lim) và các công thức liên quan đến đạo hàm.
Đạo hàm được định nghĩa là tỷ lệ giữa sự biến thiên của hàm số và sự biến thiên của đối số tại một điểm cụ thể x0. Nói cách khác, đạo hàm của hàm y = f(x) tại điểm x0 là giới hạn của tỷ lệ thay đổi của hàm số và đối số khi đối số tiến gần đến x0 và đối số đó thay đổi gần bằng 0. Đạo hàm là một khái niệm quan trọng và có nhiều ứng dụng trong giải các bài toán hình học, cũng như trong các bài toán thực tế thuộc các lĩnh vực như vật lý, hóa học, sinh học, kỹ thuật, và đặc biệt là trong việc làm việc với đạo hàm của hàm Arctan X.
Quy tắc đạo hàm chung
- Quy tắc đạo hàm để cộng và trừ nhiều hàm: (u + v – w )’ = u’ + v’ – w’
- Quy tắc đạo hàm cho hằng: (ku)’ = ku’ trong đó k là hằng, u là hàm
- Đạo hàm quy tắc nhân hai hàm số (uv)’ = u’.v + u.v’
- Quy tắc đạo hàm của phân số (u/v)′=(u′v – uv’)/v^2
- Quy tắc đạo hàm hàm nghịch đảo(1/v)′=−v′/v^2
- Quy tắc đạo hàm của hàm hợp y(u(x): [y(u(x))]’ = [y(u)]’.[u(x)]’
Cách tính đạo hàm của hàm số y = arctan x
Với tan y = x, lấy đạo hàm hai vế theo biến x ta được:
Từ đó cách tính đạo hàm của hàm số y = arctan x là:
Đạo hàm Arctan X là một công thức đạo hàm quan trọng và khá phức tạp. Để giữ lâu kiến thức này, cần hiểu sâu hơn và thường xuyên thực hành. Chúng tôi hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em kiến thức hữu ích về việc tính đạo hàm của hàm Arctan.