Cách tính nguyên hàm, bảng nguyên hàm đầy đủ và chi tiết

Nguyên hàm đóng vai trò quan trọng trong Giải tích Toán 12 và thường thường được sử dụng đều đặn trong các kỳ thi đại học. Vậy, chúng ta hãy tìm hiểu về những công thức nguyên hàm quan trọng cần ghi nhớ, cách tính nguyên hàm và các chi tiết liên quan trong bài viết này nhé.

Mục lục

1. Định nghĩa nguyên hàm

2. 3 định lý của nguyên hàm

3. Những tính chất của nguyên hàm

4. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng và nâng cao

5. Cách tính nguyên hàm phổ biến

Định nghĩa nguyên hàm

Nguyên hàm là một khái niệm trong toán học, chính xác là một phần quan trọng của giải tích. Một hàm số $F (x)$ được gọi là nguyên hàm của một hàm số $f (x)$ trên một khoảng $I$ nếu và chỉ nếu đạo hàm của $F (x)$ trên khoảng $I$ bằng $f (x)$ .

Tức là: $F^{'} (x) = f (x) cho mọi x trong khoảng I$

Trong biểu đồ đồ họa, nguyên hàm của một hàm số $f (x)$ thường được biểu diễn dưới dạng đường cong mà nếu lấy đạo hàm của nó, ta sẽ thu được hàm $f (x)$ .

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:

\int f (x) d x = F (x) + C (\forall C \in R)

3 định lý của nguyên hàm

Định lý 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
Định lý 2: Trên K, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý.
Định lý 3: Trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.

Những tính chất của nguyên hàm

Nguyên hàm có một số tính chất quan trọng:

Tính chất tổng: Nguyên hàm của tổng của hai hàm số bằng tổng của nguyên hàm của từng hàm số: $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$
Tính chất hằng số: Nguyên hàm của một hàm số nhân với một hằng số bằng hằng số đó nhân với nguyên hàm của hàm số: $\int c \cdot f (x) d x = c \cdot \int f (x) d x$
Tính chất đạo hàm: Nguyên hàm của đạo hàm của một hàm số bằng chính hàm số đó: $\int f^{'} (x) d x = f (x) + C$ Trong đó, $C$ là hằng số cần thiết để bù trừ khả năng có nhiều hàm số có cùng đạo hàm.
Tính chất đối xứng: Nguyên hàm của một hàm số trên một khoảng có thể tính bằng nguyên hàm của hàm số đó trên một khoảng đối xứng qua gốc tọa độ: $\int_{- a a} f (x) d x = 0$
Tính chất thay đổi biến số: Nếu bạn thực hiện phép thay đổi biến số $u$ trong nguyên hàm, thì bạn cần thay đổi giới hạn tích phân theo biến số mới $u$ .

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng và nâng cao

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

Bảng nguyên hàm hàm số lượng giác

Cách tính nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi biến số

Đây là phương pháp được sử dụng rất nhiều khi giải nguyên hàm. Vì vậy, các em cần phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh và chính xác hơn.

Phương pháp đổi biến loại 1:

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục để f[u(x)] xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

Cách giải:

Đầu tiên, chọn t = φ(x) và tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.

Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi biến loại 2: Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này:

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Qua bài viết trên, imo2007 đã cung cấp cho các bạn kiến thức cơ bản về nguyên hàm, bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng, cũng như các công thức nguyên hàm quan trọng mà các bạn cần nắm vững. Chúng tôi hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp các bạn ghi nhớ những công thức nguyên hàm này một cách hiệu quả và sẽ hỗ trợ các bạn trong việc áp dụng chúng để giải quyết các bài tập một cách nhanh chóng và tự tin.

Xem thêm: