Công thức phép quay là một công cụ toán học quan trọng trong việc mô tả và tính toán các phép quay trong không gian ba chiều. Bài viết này nhằm giúp bạn hiểu rõ hơn về các công thức để tính phép quay. Trước hết, chúng ta sẽ tìm hiểu về công thức tính phép quay theo trục cố định. Các công thức này cho phép chúng ta quay điểm trong không gian một góc θ quanh các trục OX, OY và OZ. Hãy cùng với Imo2007eduvn khám phá các công thức chi tiết để hiểu cách tính toán tọa độ mới sau phép quay.
Định nghĩa công thức phép quay
Công thức phép quay là công cụ toán học để mô tả và tính toán các phép quay trong không gian ba chiều. Nó cho phép thay đổi vị trí và hướng của các đối tượng. Có hai phương pháp chính: phép quay theo trục cố định và phép quay theo trục không cố định. Phép quay theo trục cố định quay một điểm xung quanh trục đã định sẵn, trong khi phép quay theo trục không cố định quay một điểm xung quanh trục không phải là trục chính. Công thức tính phép quay dựa trên ma trận và các phép toán vector để tính toán tọa độ mới sau phép quay.
Công thức phép quay
Công thức phép quay theo trục cố định
Công thức quay điểm P(x, y, z) một góc θ quanh trục OX
Chúng ta sử dụng công thức sau để tính toán tọa độ mới (x’, y’, z’) sau phép quay:
- x’ = x
- y’ = y * cos(θ) – z * sin(θ)
- z’ = y * sin(θ) + z * cos(θ)
Công thức quay điểm P(x, y, z) một góc θ quanh trục OY
Chúng ta sử dụng công thức sau để tính toán tọa độ mới (x’, y’, z’) sau phép quay:
- x’ = x * cos(θ) + z * sin(θ)
- y’ = y
- z’ = -x * sin(θ) + z * cos(θ)
Công thức quay điểm P(x, y, z) một góc θ quanh trục OZ
Chúng ta sử dụng công thức sau để tính toán tọa độ mới (x’, y’, z’) sau phép quay:
- x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)
- y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)
- z’ = z
Công thức phép quay theo trục không cố định
Công thức quay điểm P(x, y, z) một góc θ quanh trục u(u₁, u₂, u₃)
Chúng ta sử dụng công thức sau để tính toán tọa độ mới (x’, y’, z’) sau phép quay:
- x’ = (cos(θ) + u₁² * (1 – cos(θ))) * x + (u₁ * u₂ * (1 – cos(θ)) – u₃ * sin(θ)) * y + (u₁ * u₃ * (1 – cos(θ)) + u₂ * sin(θ)) * z
- y’ = (u₁ * u₂ * (1 – cos(θ)) + u₃ * sin(θ)) * x + (cos(θ) + u₂² * (1 – cos(θ))) * y + (u₂ * u₃ * (1 – cos(θ)) – u₁ * sin(θ)) * z
- z’ = (u₁ * u₃ * (1 – cos(θ)) – u₂ * sin(θ)) * x + (u₂ * u₃ * (1 – cos(θ)) + u₁ * sin(θ)) * y + (cos(θ) + u₃² * (1 – cos(θ))) * z
Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các công thức phép quay theo trục cố định và không cố định. Chúng ta sẽ khám phá cách tính toán tọa độ mới sau khi quay một điểm P(x, y, z) một góc θ quanh các trục OX, OY và OZ, cũng như quanh một trục không cố định u(u₁, u₂, u₃).
Tìm hiểu thêm: Cách tính chu vi hình thang, công thức tính tất cả các loại hình thang
Ví dụ
Ví dụ về công thức phép quay theo trục cố định
Để minh họa công thức phép quay theo trục cố định, hãy xem một ví dụ đơn giản. Giả sử chúng ta có một điểm P(1, 0, 0) và muốn quay điểm này một góc 90 độ quanh trục OY.
Sử dụng công thức quay điểm P(x, y, z) một góc θ quanh trục OY, ta có:
- x’ = x * cos(θ) + z * sin(θ)
- y’ = y
- z’ = -x * sin(θ) + z * cos(θ)
Áp dụng vào ví dụ của chúng ta, khi quay điểm P(1, 0, 0) một góc 90 độ quanh trục OY, ta có:
- x’ = 1 * cos(90) + 0 * sin(90) = 0
- y’ = 0
- z’ = -1 * sin(90) + 0 * cos(90) = -1
Vậy tọa độ mới của điểm P sau khi quay là P'(0, 0, -1).
Ví dụ về công thức phép quay theo trục không cố định
Để hiểu cách sử dụng công thức phép quay theo trục không cố định, hãy xem một ví dụ. Giả sử chúng ta có một điểm P(1, 0, 0) và muốn quay điểm này một góc 45 độ quanh trục u(0, 1, 1).
Sử dụng công thức quay điểm P(x, y, z) một góc θ quanh trục u(u₁, u₂, u₃), ta có:
- x’ = (cos(θ) + u₁² * (1 – cos(θ))) * x + (u₁ * u₂ * (1 – cos(θ)) – u₃ * sin(θ)) * y + (u₁ * u₃ * (1 – cos(θ)) + u₂ * sin(θ)) * z
- y’ = (u₁ * u₂ * (1 – cos(θ)) + u₃ * sin(θ)) * x + (cos(θ) + u₂² * (1 – cos(θ))) * y + (u₂ * u₃ * (1 – cos(θ)) – u₁ * sin(θ)) * z
- z’ = (u₁ * u₃ * (1 – cos(θ)) – u₂ * sin(θ)) * x + (u₂ * u₃ * (1 – cos(θ)) + u₁ * sin(θ)) * y + (cos(θ) + u₃² * (1 – cos(θ))) * z
Áp dụng vào ví dụ của chúng ta, khi quay điểm P(1, 0, 0) một góc 45 độ quanh trục u(0, 1, 1), ta có:
- x’ = (cos(45) + 0² * (1 – cos(45))) * 1 + (0 * 1 * (1 – cos(45)) – 1 * sin(45)) * 0 + (0 * 1 * (1 – cos(45)) + 1 * sin(45)) * 0 = 0.707
- y’ = (0 * 1 * (1 – cos(45)) + 1 * sin(45)) * 1 + (cos(45) + 1² * (1 – cos(45))) * 0 + (1 * 1 * (1 – cos(45)) – 0 * sin(45)) * 0 = 0.707
- z’ = (0 * 1 * (1 – cos(45)) – 1 * sin(45)) * 1 + (1 * 1 * (1 – cos(45)) + 0 * sin(45)) * 0 + (cos(45) + 1² * (1 – cos(45))) * 0 = -0.293
Vậy tọa độ mới của điểm P sau khi quay là P'(0.707, 0.707, -0.293).
Bài tập
Bài tập thực hành về công thức phép quay theo trục cố định
Cho điểm P(2, 3, 4). Hãy tính toán tọa độ mới của điểm P sau khi quay một góc 60 độ quanh trục OX.
Cho điểm Q(1, -1, 2). Hãy tính toán tọa độ mới của điểm Q sau khi quay một góc 45 độ quanh trục OY.
Bài tập thực hành về công thức phép quay theo trục không cố định
Cho điểm R(3, 1, -2). Hãy tính toán tọa độ mới của điểm R sau khi quay một góc 30 độ quanh trục u(1, 1, 1).
Cho điểm S(-2, 0, 4). Hãy tính toán tọa độ mới của điểm S sau khi quay một góc 90 độ quanh trục u(-1, 2, -1).
Hãy thực hiện các bài tập trên để nắm vững công thức và quá trình tính toán phép quay theo trục cố định và không cố định.
Đáp án bài tập về công thức phép quay theo trục cố định
Cho điểm P(2, 3, 4). Tính toán tọa độ mới của điểm P sau khi quay một góc 60 độ quanh trục OX.
Áp dụng công thức quay điểm P(x, y, z) một góc θ quanh trục OX:
- x’ = x
- y’ = y * cos(θ) – z * sin(θ)
- z’ = y * sin(θ) + z * cos(θ)
Khi quay điểm P(2, 3, 4) một góc 60 độ quanh trục OX, ta có:
- x’ = 2
- y’ = 3 * cos(60) – 4 * sin(60) = 1.5 – 3.464 = -1.964
- z’ = 3 * sin(60) + 4 * cos(60) = 2.598 + 2 = 4.598
Vậy tọa độ mới của điểm P sau khi quay là P'(2, -1.964, 4.598).
Cho điểm Q(1, -1, 2). Tính toán tọa độ mới của điểm Q sau khi quay một góc 45 độ quanh trục OY.
Áp dụng công thức quay điểm P(x, y, z) một góc θ quanh trục OY:
- x’ = x * cos(θ) + z * sin(θ)
- y’ = y
- z’ = -x * sin(θ) + z * cos(θ)
Khi quay điểm Q(1, -1, 2) một góc 45 độ quanh trục OY, ta có:
- x’ = 1 * cos(45) + 2 * sin(45) = 0.707 + 1.414 = 2.121
- y’ = -1
- z’ = -1 * sin(45) + 2 * cos(45) = -0.707 + 1.414 = 0.707
Vậy tọa độ mới của điểm Q sau khi quay là Q'(2.121, -1, 0.707).
Đáp án bài tập về công thức phép quay theo trục không cố định
Cho điểm R(3, 1, -2). Tính toán tọa độ mới của điểm R sau khi quay một góc 30 độ quanh trục u(1, 1, 1).
Áp dụng công thức quay điểm P(x, y, z) một góc θ quanh trục u(u₁, u₂, u₃):
- x’ = (cos(θ) + u₁² * (1 – cos(θ))) * x + (u₁ * u₂ * (1 – cos(θ)) – u₃ * sin(θ)) * y + (u₁ * u₃ * (1 – cos(θ)) + u₂ * sin(θ)) * z
- y’ = (u₁ * u₂ * (1 – cos(θ)) + u₃ * sin(θ)) * x + (cos(θ) + u₂² * (1 – cos(θ))) * y + (u₂ * u₃ * (1 – cos(θ)) – u₁ * sin(θ)) * z
- z’ = (u₁ * u₃ * (1 – cos(θ)) – u₂ * sin(θ)) * x + (u₂ * u₃ * (1 – cos(θ)) + u₁ * sin(θ)) * y + (cos(θ) + u₃² * (1 – cos(θ))) * z
Khi quay điểm R(3, 1, -2) một góc 30 độ quanh trục u(1, 1, 1), ta có:
- x’ = (cos(30) + 1² * (1 – cos(30))) * 3 + (1 * 1 * (1 – cos(30)) – 1 * sin(30)) * 1 + (1 * 1 * (1 – cos(30)) + 1 * sin(30)) * (-2) = 3.232
- y’ = (1 * 1 * (1 – cos(30)) + 1 * sin(30)) * 3 + (cos(30) + 1² * (1 – cos(30))) * 1 + (1 * 1 * (1 – cos(30)) – 1 * sin(30)) * (-2) = 1.767
- z’ = (1 * 1 * (1 – cos(30)) – 1 * sin(30)) * 3 + (1 * 1 * (1 – cos(30)) + 1 * sin(30)) * 1 + (cos(30) + 1² * (1 – cos(30))) * (-2) = -2.535
Vậy tọa độ mới của điểm R sau khi quay là R'(3.232, 1.767, -2.535).
Cho điểm S(-2, 0, 4). Tính toán tọa độ mới của điểm S sau khi quay một góc 90 độ quanh trục u(-1, 2, -1).
Áp dụng công thức quay điểm P(x, y, z) một góc θ quanh trục u(u₁, u₂, u₃):
- x’ = (cos(θ) + u₁² * (1 – cos(θ))) * x + (u₁ * u₂ * (1 – cos(θ)) – u₃ * sin(θ)) * y + (u₁ * u₃ * (1 – cos(θ)) + u₂ * sin(θ)) * z
- y’ = (u₁ * u₂ * (1 – cos(θ)) + u₃ * sin(θ)) * x + (cos(θ) + u₂² * (1 – cos(θ))) * y + (u₂ * u₃ * (1 – cos(θ)) – u₁ * sin(θ)) * z
- z’ = (u₁ * u₃ * (1 – cos(θ)) – u₂ * sin(θ)) * x + (u₂ * u₃ * (1 – cos(θ)) + u₁ * sin(θ)) * y + (cos(θ) + u₃² * (1 – cos(θ))) * z
Khi quay điểm S(-2, 0, 4) một góc 90 độ quanh trục u(-1, 2, -1), ta có
- x’ = (cos(90) + (-1)² * (1 – cos(90))) * (-2) + ((-1) * 2 * (1 – cos(90)) – (-1) * sin(90)) * 0 + ((-1) * (-1) * (1 – cos(90)) + 2 * sin(90)) * 4 = 4
- y’ = ((-1) * 2 * (1 – cos(90)) + (-1) * sin(90)) * (-2) + (cos(90) + 2² * (1 – cos(90))) * 0 + (2 * (-1) * (1 – cos(90)) – (-1) * sin(90)) * 4 = 0
- z’ = ((-1) * (-1) * (1 – cos(90)) – 2 * sin(90)) * (-2) + (2 * (-1) * (1 – cos(90)) + (-1) * sin(90)) * 0 + (cos(90) + (-1)² * (1 – cos(90))) * 4 = 2
Vậy tọa độ mới của điểm S sau khi quay là S'(4, 0, 2).
Xem thêm: Cách tính độ dài vecto: Hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa
Công thức phép quay là một công cụ quan trọng trong toán học và đồ họa. Bằng cách áp dụng các công thức và ví dụ được trình bày, chúng ta có thể tính toán tọa độ mới của các điểm sau khi quay. Việc hiểu và áp dụng công thức để tính phép quay không chỉ hỗ trợ trong nghiên cứu và ứng dụng kỹ thuật, mà còn mở ra nhiều cơ hội sáng tạo trong các lĩnh vực khác như đồ họa 3D và thiết kế sản phẩm. Hãy tiếp tục đón đọc các bài viết tiếp theo của Imo2007eduvn nhé.
