Phương trình trùng phương | Lý thuyết & bài tập

Phương trình trùng phương và phương trình quy về trùng phương

Phương trình trùng phương có dạng: $a{x^4} + b{x^2} + c = 0(a \ne 0)$

Thực chất đây là phương trình bậc hai với ẩn $t = {x^2}$, trong đó $t \ge 0$: $a{t^2} + bt + c = 0$

Việc giải phương trình này là không khó, chỉ cần lưu ý điều kiện: $t \ge 0$

Ví dụ 4: Giải phương trình $2{x^4} + 3{x^2} – 7 = 0$.

Giải:

Đặt $t = {x^2}(t \ge 0)$ thì phương trình đã cho trở thành:

$2{t^2} + 3t – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{ – 3 + \sqrt {65} }}{4} >0}\\{t = \frac{{ – 3 + \sqrt {65} }}{4} < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow x =  \pm \sqrt t  =  \pm \frac{{\sqrt { – 3 + \sqrt {65} } }}{4}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: $x = \pm \frac{{\sqrt { – 3 + \sqrt {65} } }}{4}$

Ví dụ 5: Giải phương trình ${x^4} – 4{x^3} + 5{x^2} – 2x – 3 = 0$

Đặt $x = t + 1$ thì phương trình trên trở thành:

${(t + 1)^4} – 4{(t + 1)^3} + 5{(t + 1)^2} – 2(t + 1) – 3 = 0$

$ \Leftrightarrow {t^4} – {t^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{1 – \sqrt {13} }}{2} < 0$ (Loại) hoặc ${t^2} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}$

$ \Leftrightarrow t = \pm \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow x = t + 1 = 1 \pm \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} $

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 1 \pm \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} $

Nhận xét: Lời giải trên dựa vào nhận xét sau:

Để kiểm tra phương trình ${a^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0$ có phải bản chất là phương trình trùng phương hay không, ta dùng phép đặt $x = t – \frac{b}{{4a}}$. Ngoài ra thì ta nên nhớ hằng đẳng thức bậc bốn:

${(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^3}$

Ví dụ 6: Giải phương trình ${(x – 1)^4} + {(x + 3)^4} = 40$

Đặt $x = t – 1$ thì phương trình sẽ trở thành:

${(t – 2)^2} + {(t + 2)^2} = 40 \Leftrightarrow 2{t^4} + 48t{}^2 – 8 = 0$

$ \Leftrightarrow {t^2} = – 12 – 2\sqrt {37} < 0$ (Loại) Hoặc ${t^2} = – 12 + 2\sqrt {37} $

$ \Leftrightarrow t = \pm ( – 12 + 2\sqrt {37} ) \Rightarrow x = – 1 \pm \sqrt { – 12 + 2\sqrt {37} } $

Nhận xét: Với phương trình có dạng ${(x + a)^4} + {(x + b)^4} = c$, ta đặt $x = t – \frac{{a + b}}{2}$ để phương trình quy về phương trình trùng phương ẩn t.

Phương trình bậc bốn hồi quy và phương trình phản hồi quy

Phương trình bậc bốn hồi quy có dạng: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bx + a = 0(a \ne 0)$

Vì $a \ne 0$ nên chắc chắn $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình $ \Rightarrow x \ne 0$. Chia hai về cho ${x^2} \ne 0$ ta được:

$a{x^2} + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{{{x^2}}} = 0$

$ \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + c = 0$

Đặt $t = x + \frac{1}{x}(\left| t \right| \ge 2)$. Khi đó: ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} – 2$. Phương trình trên trở thành:

$a({t^2} – 2) + bt + c = 0$

Giải phương trình này tìm $t$ với lưu ý $\left| t \right| \ge 2$.

Sở dĩ ta có điều kiện $\left| t \right| \ge 2$ là do $\left| {x + \frac{1}{x}} \right| = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left| x \right|}} \ge \frac{{2\left| x \right|}}{{\left| x \right|}} = 2$

Với cách giải tương tự, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn phản hồi quy có dạng:

$a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} – bx + a = 0(a \ne 0)$

Ta chia hai vế cho ${x^2},$ rồi đặt $t = x – \frac{1}{x}$ (không cần điều kiện của $t$ vì với $x \ne 0$ thì $\left( {x – \frac{1}{x}} \right)$ có tập giá trị là $R$) để giải quyết.

Ví dụ 7: Giải phương trình $2{x^4} + 3{x^3} – 5{x^2} + 3x + 2 = 0$

(Phương trình trên có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ \Rightarrow x \ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0$ ta được:

${x^2} + 3x – 5 + \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} = 0$

$ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + \frac{1}{{x{}^2}}} \right) + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) – 5 = 0(*)$

Đặt $t = x + \frac{1}{x}$ với điều kiện $\left| t \right| \ge 2$. $ \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} – 2$

Lúc đó phương trình $(*)$ trở thành $2({t^2} – 2) + 3t – 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$ (loại) Hoặc $t = – 3$

Với $t = – 3 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = – 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Ví dụ 8: Giải phương trình ${x^4} + 3{x^3} – 6{x^2} – 3x + 1 = 0$

(Phương trình có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ \Rightarrow x \ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0$ ta được:

${x^2} + 3x – 6 – \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} – 2} \right) + 3\left( {x – \frac{1}{x}} \right) – 4 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2} + 3\left( {x – \frac{1}{x}} \right) – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – \frac{1}{x} = 1}\\{x – \frac{1}{x} = – 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}}\\{x = – 2 \pm \sqrt 5 }\end{array}} \right.$

Phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ {\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}; – 2 \pm \sqrt 5 } \right\}$

Ví dụ 9: Giải phương trình: ${x^4} + 3{x^3} – 6{x^2} + 6x + 4 = 0$

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ \Rightarrow x \ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0$ ta được:

${x^2} + 3x – 6 + \frac{6}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} + 4} \right) + 3\left( {x + \frac{2}{x}} \right) – 10 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^2} + 3\left( {x + \frac{2}{x}} \right) – 10 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{2}{x} = – 5}\\{x + \frac{2}{x} = 2(VN)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {17} }}{2}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {17} }}{2}$

Nhận xét: Phương trình trên có dạng $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0(a \ne 0)$

Đây là một dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy. Tương tự ta cũng suy ra cách giải cho dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx – a{k^2} = 0(a \ne 0)$

Phương trình bậc bốn khuyết ${x^3}$

Phương trình có dạng: $a{x^4} + b{x^2} + cx + d = 0$

Ví dụ 10: Giải phương trình ${x^4} – 11{x^2} + 12x – 3 = 0$

Dựa trên ý tưởng đưa phương trình về dạng ${(a{x^2} + b)^2} = {(cx + d)^2}$, ta sẽ triển khai như sau:

Bước 1: Cô lập ${x^4},$ về một vế: ${x^4} = 11{x^2} – 12x + 3$

Bước 2: Nhóm bình phương ở vế trái bằng cách cộng thêm vào hai vế một lượng là $(2m{x^2} + {m^2})$, trong đó $m$ là hằng số ta tìm sao cho phù hợp:

${x^4} + 2m{x^2} + {m^2} = (2m + 11){x^2} – 12x + (3 + {m^2})$

$ \Leftrightarrow {({x^2} + m)^2} = (2m + 11){x^2} – 12x + (3 + {m^2})(*)$

Bước 3: Tìm hằng số $m$ sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là biệt thức $\Delta $ của vế phải đúng bằng $0$.

$ \Leftrightarrow {12^2} – 4(2m + 11)(3 + {m^2}) = 0$

$ \Leftrightarrow m = – 1$ hoặc $m = \frac{{ – 9 \pm \sqrt {105} }}{4}$

Để bài giải có tính thẩm mĩ của bài toán thì ta nên chọn $m = – 1$. Khi đó $(*)$ sẽ trở thành:

${({x^2} – 1)^2} = 9{x^2} – 12x + 4 \Leftrightarrow {({x^2} – 1)^2} = {(3x – 2)^2}$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} – 1 = 3x – 2}\\{{x^2} – 1 = 2 – 3x}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\\{x = \frac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2}}\end{array}} \right.$

Kết luận phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};\frac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2}} \right\}$

Nhận xét: Như vậy, việc giải phương trình có dạng khuyết ${x^3}$ được chia làm các bước quan trọng như trên. Quan trọng nhất vẫn là bước giải phương trình tìm ra $m$. Nếu phương trình bậc ba ẩn $m$ dễ giải thì quá tuyệt vời

Phương trình có dạng $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m,a + b = c + d$

Cách giải phương trình này là xét trường hợp $x = 0$. Còn trường hợp $x \ne 0$ thì biến đổi phương trình về dạng:

$[{x^2} + (a + b)x + ab][{x^2} + (c + d)x + cd] = m$

Do $a + b = c + d$ nên ta đặt $t = {x^2} + (a + b)x$ thì phương trình trở thành: $(t + ab)(t + cd) = m$

→ Đây là phương trình bậc hai ẩn $t$. Ta tiến hành tìm $t$ sau đó quay ngược lại tìm $x$.

Ví dụ 11: Giải phương trình $({x^4} + 4x + 3)({x^2} + 12x + 35) = 9$

Phương trình đã cho tương đương với:

$(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9$

$ \Leftrightarrow (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) = 9$

$ \Leftrightarrow ({x^2} + 8x + 7)({x^2} + 8x + 15) = 9$

$ \Leftrightarrow {({x^2} + 8x)^2} + 22({x^2} + 8x) + 96 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 8x = – 6}\\{{x^2} + 8x = – 16}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 4 \pm \sqrt {10} }\\{x = – 4}\end{array}} \right.$

e) Phương trình dạng $({x^2} + bx + a)({x^2} + cx + a) = m{x^2}$

Đầu tiên thử xem $x = 0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không. Khi $x \ne 0$ ta tiến hành chia hai về của phương trình cho ${x^2} \ne 0$. Ta được:

$\left( {x + \frac{a}{x} + b} \right)\left( {x + \frac{a}{x} + c} \right) = m$

(“chia phân phát” ở vế trái, mỗi dấu ngoặc ta chia cho $x$)

Đây là phương trình bậc hai, ẩn $t = x + \frac{a}{x}$

Ví dụ 12: Giải phương trình $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = \frac{{ – 3{x^2}}}{4}$

Phân tích: Nhận xét rằng 6×1 = 2×3 nên ta sử dụng phép nhân phân phối để đưa về dạng phương trình đề cập trong trường hợp này:

$ \Leftrightarrow ({x^2} + 7x + 6)({x^2} + 5x + 6) = \frac{{ – 3{x^2}}}{4}$

$ \Leftrightarrow \left( {x + \frac{6}{x} + 7} \right)\left( {x + \frac{6}{x} + 5} \right) = \frac{{ – 3}}{4}$ (Dễ thấy $x \ne 0$)

$ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{6}{x}} \right)^2} + 12\left( {x + \frac{6}{x}} \right) + \frac{{143}}{4} = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{6}{x} = \frac{{ – 11}}{2}}\\{x + \frac{6}{x} = \frac{{ – 13}}{2}}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 3}}{2}}\\{x = – 4}\\{x = \frac{{ – 13 \pm \sqrt {73} }}{4}}\end{array}} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { – 4;\frac{{ – 3}}{2};} \right\}$