Giáo án: khối 10
Soạn ngày: 17/9/2010.
Dạy ngày : 21/9/2010.
Chủ đề 1: Tập xác định và tập giá trị của hàm số.
- Kiến thức cơ bản.
- Tập xác định của hàm số.
- Khái niệm: Cho hàm số \[y = f\left( x \right)$. Tập xác định của hàm số \[y = f\left( x \right)$ là tập hợp tất cả các số thực \[x$ sao cho biểu thức \[f\left( x \right)$ có nghĩa. Nếu gọi D là TXĐ của hàm số thì:
\[D = \left\{ {x \in R:f\left( x \right) \in {\rm{R}}} \right\}$.
Dạng toán hay gặp.
1) Hàm số : \[y = \frac{1}{{p\left( x \right)}}$ có TXĐ là: \[D = \left\{ {x \in R/p\left( x \right) \ne 0} \right\}$
2) Hàm số : \[y = \sqrt[{2n}]{{p\left( x \right)}}$ có TXXĐ là : \[D = \left\{ {x \in R/p\left( x \right) \ge 0} \right\}$
3) Hàm số \[y = f\left( x \right)$ và hàm số \[y = g\left( x \right)$ có TXĐ lần lượt là : \[{D_f}$ và \[{D_g}$.Gọi \[D$ là TXĐ của hàm số : \[y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)$; hàm số \[y = f\left( x \right).g\left( x \right)$ thì \[D = {D_f} \cap {D_g}$
4) TXĐ của hàm số: \[y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ là \[D = \left\{ {{D_f} \cap {D_g}\backslash x \in R/g\left( x \right) \ne 0} \right\}$
- Ví dụ áp dụng :
Bài 1 tìm tập xác định của các hàm số sau:
1) \[y = f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3x – 2} + \sqrt { – {x^2} + 5x – 6} $
2) \[y = y = \frac{1}{{\sqrt {\left| x \right| – x} }}$
3) \[y = \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} + \sqrt {\frac{{1 – x}}{{1 + x}}} $
4) \[y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2} – 4x + 5}}}} + \sqrt[4]{{{x^2} – 3x + 2}}$
5) \[y = \sqrt {x + \sqrt {{x^2} – x + 1} } $
Bài 2 : cho hàm số :
\[y = \sqrt { – {x^2} + 8x – 7} + \sqrt { – {x^2} + \left( {2m + 1} \right) – {m^2} – m} $; \[m$ là tham số
Định m để TXĐ của hàm số chỉ có một phần tử.
Giải: hàm số xác định \[\sqrt {{x^2} – 100} + \sqrt[4]{{100 – {x^2}}} < 1$\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- {x^2} + 8x – 7 \ge 0\left( 1 \right)\\- {x^2} + \left( {2x + 1} \right)x – {m^2} – m \ge 0\left( 2 \right)\end{array} \right.$\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow x \in \left[ {1;7} \right]$\[\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {x – m} \right)\left[ {x – \left( {m + 1} \right)} \right],0$
Gọi \[{S_1} = \left[ {1;7} \right]$ và \[{S_2} = \left[ {m;m + 1} \right]$ thì :Tập xác định của hàm số : \[D = {S_1} \cap {S_2}$ chỉ có một phần tử
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = 0\end{array} \right.$
Bai 3: giải các pt và bất pt sau :
- \[\sqrt {{x^2} – 2x – 3} + \sqrt[4]{{ – 4{x^2} + 8x – 3}} = 4$
- 2. \[\sqrt {{x^2} – 4} + \sqrt[4]{{4 – {x^2}}} < 4$
Giải: 1. TXĐ : \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x – 3 \ge 0\\- 4{x^2} + 8x – 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\\x \in \left[ {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \emptyset $
Vậy phương trình vô nghiệm.
- \[\left\{ \begin{array}{l}4 – {x^2} \ge 0\\{x^2} – 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$
Thay \[x = 2$ và \[x = – 2$ vào bất pt ta thấy : \[0 + 0 < 4$ (đúng)
Vậy bất pt có nghiệm \[x = 2$ và \[x = – 2$.
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Tìm TXĐ của các hàm số sau:
- \[y = \sqrt {x – 4} + \sqrt { – {x^2} + 5x – 4} $
1) \[y = \frac{{\sqrt {{x^2} – 16} }}{{\sqrt {{x^2} + 2x – 3} }}$
2) \[y = \sqrt {\frac{{x + 3}}{{3 – x}}} + \sqrt {\frac{{3 – x}}{{x + 3}}} + 2010$
3) \[y = \sqrt {\left| {x – 1} \right| + 1 – x} $
Bài 2: Tìm \[x$ để các biểu thức sau có nghĩa. (tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
1) \[\sqrt {3x – 1} $
2) \[\sqrt {5 – 2x} $
3) \[\frac{1}{{\sqrt {7x – 14} }}$
4) \[\sqrt {2x – 1} $
5) \[\frac{{\sqrt {3 – x} }}{{\sqrt {7x + 2} }}$
6) \[\sqrt {\frac{{x + 3}}{{7 – x}}} $
7) \[\frac{1}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}$
8) \[\sqrt {{x^2} + 3} $
9) \[\sqrt {{x^2} – 2} $
10) \[\sqrt {{x^2} – 3x + 7} $
11) \[\sqrt {2{x^2} – 5x + 3} $
12) \[\frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 5x + 6} }}$
13) \[\frac{1}{{\sqrt {x – 3} }} + \frac{{3x}}{{\sqrt {5 – x} }}$
14) \[\sqrt {6x – 1} + \sqrt {x + 3} $
Bài 2: Giải phương trình và các bất phương trình sau:
1) \[\sqrt { – {x^2} + 4x – 3} + \sqrt { – {x^2} + 7x – 12} = 3 – x$
2) \[\sqrt {{x^2} – 100} + \sqrt[4]{{100 – {x^2}}} < !$
- Tập gía trị của hàm số
Định nghĩa: cho hàm số \[y = f\left( x \right)$ có TXĐ là \[D$ tập hợp tất cả các giá trị của hàm số đgl miền giá trị của hàm số, gọi \[T$ là tập giá trị của hàm số \[y = f\left( x \right)$ thì:
\[T = \left\{ {y \in R/\exists {\rm{x}} \in {\rm{D,y = f}}\left( x \right)} \right\}$
Phương pháp tìm tập giá trị của hàm số:
Xét phương trình \[y = f\left( x \right)$ (*) ẩn số \[x$.
Ta tìm tất cả các giá trị của \[{\rm{y}}$ để (*) có nghiệm.
Tập hợp các giá trị của \[{\rm{y}}$ tìm được là tập gía trị của hàm số
Chú ý : Qua việc tìm tập giá trị của hàm số,đôi khi giúp ta tìm được GTLN ; GTNN của hám số
+ \[\mathop {Maxf\left( x \right)}\limits_{x \in D} = M \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) \le M,\forall x \in D}\\{\exists {x_0} \in D:f\left( {{x_0}} \right) = M}\end{array}} \right.$+ \[\mathop {Min\left( x \right)}\limits_{x \in D} = m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D:f\left( {{x_0}} \right) = M\end{array} \right.$
Bài tập áp dụng
Bài 1 :Tìm tập giá trị của các hàm số sau. Từ đó suy ra GTLN-GTNN (nếu có)
- 1. \[y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$
- \[y = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} + 1}}$
- \[y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}$
- \[y = x – \sqrt {{x^2} – 1} $
Bài 2 : cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} + 1}}$ xác định \[a$ và \[b$ để hàm số có tập giá trị là đoạn \[\left[ { – 1;9} \right]$
Hướng dẫn giải:
- +TXĐ : \[D = R\backslash \left\{ { – 1} \right\}$
+ xét phương trình \[y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ (*) ẩn \[x$ ta có từ (*)
\[ \Leftrightarrow y\left( {x + 1} \right) = 2x – 1$
\[ \Leftrightarrow \left( {y – 2} \right)x = – 1 – y$
Nếu \[y = 2$ thì (*) vô nghiệm.
Nếu \[y \ne 2$ thì (*) \[ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1 – y}}{{y – 2}} \ne – 1$
Vậy : (*) có nghiệm khi và chỉ khi \[y \ne 2$. Nên tập giá trị của hàm số là \[T = \left\{ {y \in R/y \ne 2} \right\} = R\backslash \left\{ 2 \right\}$T = {yeR/y*2] = R\{2}
- ta có:
- TXĐ : \[D = R$.
- Xét phương trình : \[y = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} + 1}}$ ẩn số \[x$ (*)
Ta có : (*) \[y\left( {{x^2} + l} \right) = {x^2} – 1 \Leftrightarrow \left( {1 – y} \right){x^2} = y + l$ + Nếu \[y = l$ thì (*) vô nghiệm.
+Nếu \[y \ne l \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{y + 1}}{{1 – y}}$
Vậy (*) có nghiệm \[ \Leftrightarrow \frac{{1 + y}}{{1 – y}} \ge 0 \Leftrightarrow – 1 \le y < 1$
Vậy : tập giá trị của hàm số là \[T = \left[ { – 1;1} \right)$
Suy rạ: + \[\min y = – 1$ đạt tại \[x = 0$
+ không tồn tại GTLN
- tương tự câu 2.
- ta có :
- TXĐ : \[D = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$
- Xét phương trình : \[y = x – \sqrt {{x^2} – 1} $ (1) ẩn số \[x$.
ta có (1) \[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 1} = x – y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge y\\
2y.x = {y^2} + 1
\end{array} \right.$
+ Nếu \[y \le 0$ thì phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu \[y > 0$ thì (1 \[ \Leftrightarrow \frac{{{y^2} + 1}}{{2y}} \ge y \Leftrightarrow 0 < y \le 1$
Vậy tập giá trị của hàm số là \[T = \left( {0;1} \right]$
Suy ra : GTLN là 1; không tồn tại GTNN.